Didattica, 2017-2018, Analisi Numerica
Diario lezioni svolte (totale 26 ore)
26 febbraio 2018, ore 14.30-16.15.
» Introduzione al corso.
» Densita'. Legame tra densita' e migliore approssimazione (con dimostrazione).
» Teorema di approssimazione di Weierstrass.
» Teorema di Weierstrass del massimo e minimo di funzioni continue in compatto.
» Continuita' funzione distanza (con dimostrazione).
26 febbraio 2018, ore 16.30-18.15. (laboratorio)
» Chebfun.
» Esempi di approssimazione in Chebfun e sintassi.
» Fenomeno di Runge ed interpolanti in nodi equispaziati e di Chebyshev.
» Esercizio sull'ordine di convergenza.
26 febbraio 2018, ore 14.30-16.15.
» Esistenza dell'elemento di miglior approssimazione in sottospazi di dimensione finita (con dimostrazione).
» Teorema di equioscillazione di Chebyshev.
» Algoritmo di Remez.
» Qualita' della miglior approssimazione in tre esempi.
» Modulo di continuita' (caso Lipschitziano e Holderiano).
» Teoremi di Jackson per f continue o regolari.
» Errori di miglior approssimazione per funzioni analitiche.
6 marzo 2018, ore 14.30-16.15.
» Polinomi di Chebyshev e loro zeri.
» Costanti di Lebesgue come indicatori di stabilita'.
» Costanti di Lebesgue come norma di operatori di interpolazione.
» Errore di interpolazione relativamente errore di miglior approssimazione e costanti di Lebesgue.
» Alcuni asintotici di costanti di Lebesgue.
12 marzo 2018, ore 14.30-16.15.
» Dimostrazione del legame tra Costante di Lebesgue, interpolazione e miglior approssimazione.
» Spazi euclidei. Alcuni esempi.
» Teorema di Pitagora.
» Teorema della Proiezione Ortogonale (con dimostrazione).
» Equazioni normali e basi ortogonali.
12 marzo 2018, ore 16.30-18.15. (laboratorio)
» Confronto di Remez e interpolazione in nodi di Chebyshev per varie funzioni.
» Calcolo delle Costanti di Lebesgue per Chebyshev e nodi equispaziati.
» Confronti con alcune stime teoriche.
13 marzo 2018, ore 14.30-16.15.
» Spazi euclidei separabili.
» Spazi euclidei separabili e basi ortonormali.
» Chiusura di spazi euclidei tramite elementi linearmente indipendenti.
» Teorema di Bessel/Parseval.
» Serie di Fourier con polinomi trigonometrici e polinomi trigonometrici complessi.
19 marzo 2018, ore 14.30-16.15.
» Cenni alla FFT.
» Alcune stime notevoli sulla formula dei trapezi e sui coefficienti di Fourier.
» Lo spazio L^2_w. Miglior approssimazione in L^2_w.
» Funzioni peso classiche.
19 marzo 2018, ore 16.30-18.15. (laboratorio)
» FFT e Chebfun.
» Fenomeno di Gibbs.
» Esercizi.
20 marzo 2018, ore 14.30-16.15.
» Polinomi ortogonali.
» Zeri di polinomi ortogonali (con dimostrazione).
» Formula di ricorrenza a tre termini.
» Introduzione alla quadratura numerica.
» Formule interpolatorie.
» Grado di precisione.
» Legame tra formule interpolatorie e grado di precisione.
26 marzo 2018, ore 14.30-16.15.
» Formule di Newton-Cotes.
» Regola del trapezio e di Cavalieri-Simpson.
» Formule composte.
» Formule dei trapezi composte. Errore e caso funzioni periodiche (teorema di Eulero-Mac Laurin).
» Formula di Cavalieri-Simpson composta.
» Miglioramento delle formule di quadratura di Newton-Cotes (composte), in termini di grado di precisione e illimitatezza degli intervalli.
» Teorema di esistenza e unicita' delle formule gaussiane.
26 marzo 2018, ore 16.30-18.15. (laboratorio)
» Formule composte in Matlab (trapezi e Cavalieri Simpson).
» Esempi.
» Esercizi.
27 marzo 2018, ore 14.30-16.15.
» Teorema di esistenza e unicita' delle formule gaussiane (con dimostrazione).
» Errori formule gaussiane.
» Stabilita' delle formule di quadratura.
» Norme di alcuni operatori di integrazione.
Diario lezioni da svolgere
» Teorema di Stielties (con dimostrazione).
» Alcune considerazioni sul teorema si Stieltjes.
» Teorema di Polya-Steklov. Prima parte della dimostrazione.
» Teorema di Polya-Steklov (seconda parte).
» Convergenza formule gaussiane.
» Convergenza formule composte.
» Sistemi lineari (considerazioni).
» Splitting di matrice.
» Metodi iterativi stazionari.
» Metodo di Jacobi.
» Gauss-Seidel.
» SOR.
» Metodi di Richardson.
» Legame tra metodi di Richardson stazionari e metodi iterativi stazionari.
» Norme di matrici e loro proprieta'.
» Metodi consistenti.
» Teorema di convergenza di un metodo iterativo stazionario (con dimostrazione).
- Caso diagonalizzabile.
- Caso generale.
» Formule gaussiane in Matlab. Esempi ed esercizi.
» Velocita' di convergenza.
» Convergenza per matrici tridiagonali.
» Convergenza per matrici a predominanza diagonale.
» Convergenza per matrici simmetriche.
» Test dello step. (e sua breve analisi).
» Test del residuo (e sua breve analisi).
» Metodi del gradiente.
» Metodo del gradiente classico.
» Metodo del gradiente coniugato.
» Stima dell'errore del gradiente coniugato.
» Teoremi di localizzazione di Gerschgorin (con esempi).
» Metodo delle potenze.
» Convergenza del metodo delle potenze.
» Metodo delle potenze inverse.
» Metodo delle potenze con shift.
» Metodo QR.
» Convergenza QR.
» Implementazione di QR con matrici di Hessenberg.
(Laboratorio)
» Jacobi e SOR in Matlab.
» Soluzione di un sistema lineare con Jacobi e SOR.
» Accenno a matrici di Poisson.
» Problema di Cauchy.
» Teoremi di Cauchy in piccolo e grande.
» Metodi di Eulero esplicito (con stima errore troncamento).
» Metodo di Eulero implicito.
» Linear Multistep methods (LMM).
» Convergenza Eulero esplicito.
» Confronto di metodi per il calcolo della soluzione dell'equazione lineare di Poisson.
» Calcolo di autovalori e autovettori.
» Implementazione del metodo delle potenze.
» Esempi col metodo delle potenze.
» Implementazione del metodo QR.
» Esempio.
» Descrizione Crank-Nicolson.
» A-Stabilita'.
» Problemi stiff.
» Regioni di stabilita' di Eulero esplicito, implicito e Crank-Nicolson.
» Verifica consistenza LM.
» Convergenza dei LMM.
» Barriere di Dahlquist.
» Problema di Poisson univariato con metodi alle differenze.
» Stima dell'errore della soluzione numerica.
(Laboratorio)
» Metodi di Eulero Esplicito/Implicito in Matlab.
» Esercizi.
» Metodo di Crank-Nicolson in Matlab.
» Problema di Poisson sul quadrato con metodo alle differenze centrali.
» Esempio.
» Equazione del calore.
» Metodo delle linee.
» Modello approssimato dell'equazione del calore (metodo delle linee).
» Alcune stime.
» Test di stabilita' e comportamento Eulero esplicito e implicito.
(Laboratorio)
» Descrizione del software per equazione di Poisson.
» Stima errore.
» Alcuni esempi.
» Esercizio.
» Nota sull'uso di meshgrid, reshape e surf in Matlab.
» Stabilita' asintotica di Crank-Nicolson.
» Metodi numerici per equazione del calore. Instabilita' Eulero Esplicito.
» Esercizi in Matlab.
» Teorema di Stielties (con dimostrazione).
» Alcune considerazioni sul teorema si Stieltjes.
» Teorema di Polya-Steklov. Prima parte della dimostrazione.
» Teorema di Polya-Steklov (seconda parte).
» Convergenza formule gaussiane.
» Convergenza formule composte.
» Sistemi lineari (considerazioni).
» Splitting di matrice.
» Metodi iterativi stazionari.
» Metodo di Jacobi.
» Gauss-Seidel.
» SOR.
» Metodi di Richardson.
» Legame tra metodi di Richardson stazionari e metodi iterativi stazionari.
» Norme di matrici e loro proprieta'.
» Metodi consistenti.
» Teorema di convergenza di un metodo iterativo stazionario (con dimostrazione).
- Caso diagonalizzabile.
- Caso generale.
» Formule gaussiane in Matlab. Esempi ed esercizi.
» Velocita' di convergenza.
» Convergenza per matrici tridiagonali.
» Convergenza per matrici a predominanza diagonale.
» Convergenza per matrici simmetriche.
» Test dello step. (e sua breve analisi).
» Test del residuo (e sua breve analisi).
» Metodi del gradiente.
» Metodo del gradiente classico.
» Metodo del gradiente coniugato.
» Stima dell'errore del gradiente coniugato.
» Teoremi di localizzazione di Gerschgorin (con esempi).
» Metodo delle potenze.
» Convergenza del metodo delle potenze.
» Metodo delle potenze inverse.
» Metodo delle potenze con shift.
» Metodo QR.
» Convergenza QR.
» Implementazione di QR con matrici di Hessenberg.
(Laboratorio)
» Jacobi e SOR in Matlab.
» Soluzione di un sistema lineare con Jacobi e SOR.
» Accenno a matrici di Poisson.
» Problema di Cauchy.
» Teoremi di Cauchy in piccolo e grande.
» Metodi di Eulero esplicito (con stima errore troncamento).
» Metodo di Eulero implicito.
» Linear Multistep methods (LMM).
» Convergenza Eulero esplicito.
» Confronto di metodi per il calcolo della soluzione dell'equazione lineare di Poisson.
» Calcolo di autovalori e autovettori.
» Implementazione del metodo delle potenze.
» Esempi col metodo delle potenze.
» Implementazione del metodo QR.
» Esempio.
» Descrizione Crank-Nicolson.
» A-Stabilita'.
» Problemi stiff.
» Regioni di stabilita' di Eulero esplicito, implicito e Crank-Nicolson.
» Verifica consistenza LM.
» Convergenza dei LMM.
» Barriere di Dahlquist.
» Problema di Poisson univariato con metodi alle differenze.
» Stima dell'errore della soluzione numerica.
(Laboratorio)
» Metodi di Eulero Esplicito/Implicito in Matlab.
» Esercizi.
» Metodo di Crank-Nicolson in Matlab.
» Problema di Poisson sul quadrato con metodo alle differenze centrali.
» Esempio.
» Equazione del calore.
» Metodo delle linee.
» Modello approssimato dell'equazione del calore (metodo delle linee).
» Alcune stime.
» Test di stabilita' e comportamento Eulero esplicito e implicito.
(Laboratorio)
» Descrizione del software per equazione di Poisson.
» Stima errore.
» Alcuni esempi.
» Esercizio.
» Nota sull'uso di meshgrid, reshape e surf in Matlab.
» Stabilita' asintotica di Crank-Nicolson.
» Metodi numerici per equazione del calore. Instabilita' Eulero Esplicito.
» Esercizi in Matlab.