Calcolo NumericoLaurea Triennale, primo anno, a.a. 2020-2021 Ing. Energia Canale B e Ing. Meccanica Canale 3, Docente: Alvise Sommariva Corso in collaborazione con Federico Piazzon Videolezioni del corso per il 2020-2021
» Introduzione al corso (1h). » Rappresentazione dei numeri reali. » Un esempio. » Numeri macchina. » Alcune proprieta' numeri macchina (minimo, massimo). » Videolezione in streaming, » Download, » Alcune proprieta' numeri macchina (cardinalita', spaziatura). » Precisione singola e doppia. » Troncamento e arrotondamento (con esempi e osservazioni). » Precisione di macchina. » Errori relativi e assoluti (per numeri e vettori), con esempi. » Unita' di arrotondamento. » Videolezione in streaming, » Download, » Operazioni con i numeri macchina. » Proprietà commutativa, associativa e distributiva delle operazioni floating point (con esempi). » Errori nelle operazioni e loro propagazione. » Il caso della somma, con dimostrazione. » Esempio sulla cancellazione. » Il caso del prodotto, con dimostrazione. » Alcune problematiche numeriche. » Valutazione di una funzione (condizionamento di una funzione). » Alcuni esempi del condizionamento. » Videolezione in streaming, » Download, » Stabilita' di un algoritmo. » Calcolo di una radice di secondo grado. » Approssimazione di pi greco. » Una successione ricorrente. » Sulla somma ((1+x)-1)/x. » Sulla valutazione di f(x)=x come tan(arctan(x)). » Valutazione di polinomi: complessita' computazionale. » Videolezione in streaming, » Download, » Matlab e Octave. » Interfaccia grafica di Matlab. » Command Window. » Variabili. » Valori che possono assumere le variabili (scalari, vettori, matrici, stringhe). » Operazioni e funzioni elementari predefinite (con esempi). » Alcune costanti. » Help di Matlab. » Assegnazioni. » Il comando "whos". » Vettori riga e colonna in Matlab. » Comandi "length" e "size", "zeros", "ones". » Vettori equispaziati come "a:h:b" o con "linspace". » Videolezione in streaming, » Download, » Potenza di un numero. » Esponenziale di un numero. » Determinanti: confronto della regola di Laplace e metodo con fattorizzazione LU. » Soluzione numerica di equazioni nonlineari esempi, grafici e metodi iterativi. » Videolezione in streaming, » Download, » Ordine di convergenza, con esempio. » Metodo di bisezione. » Convergenza del metodo di bisezione (con dimostrazione). » Test di arresto per il metodo di bisezione (con esempi). » Videolezione in streaming, » Download, » Accesso alle componenti di un vettore. » Operazioni elementari di tipo vettoriale. » Funzioni elementari e loro applicazione a vettori. » Note sulle operazioni moltiplicative. » Somma tra scalari e vettori. » Operazioni moltiplicative tra scalari e vettori. » Definizione di funzioni matematiche. » La grafica di Matlab e il comando plot. » Videolezione in streaming, » Download, » Metodo di Newton. » Interpretazione grafica del metodo di Newton. » Test di arresto per il metodo di Newton. » Un teorema di convergenza locale per il metodo di Newton (con dimostrazione). » Videolezione in streaming, » Download, » Un teorema di convergenza globale per il metodo di Newton (con dimostrazione). » Newton e zeri multipli. » Newton: alcuni esempi (casi semplici e multipli). » Newton: radici quadrate ed n-sime. » Videolezione in streaming, » Download, » La scala semilogaritmica » Altri comandi per grafici » I comandi legend e title » Le stringhe di testo » I comandi format, disp, fprintf » Le matrici: definizione. » Alcune funzioni matriciali di Matlab. » Operazioni elementari con Matrici. » Prodotto matrice vettore » Soluzione di sistemi lineari. » Videolezione in streaming, » Download, » Metodo delle secanti. » Metodo delle secanti: un teorema di convergenza. » Metodo delle secanti: un esempio. » Metodi di punto fisso: introduzione. » Teorema di punto fisso di Banach (dimostrazione punto 3 (ordine convergenza)). » Un teorema di punto fisso di convergenza locale (senza dimostrazione). » Un teorema di punto fisso di convergenza locale (ordine p, senza dimostrazione). » Videolezione in streaming, » Download, » Metodo di Newton come metodo di punto fisso. » Metodo di Newton e teorema di punto fisso di convergenza locale (traccia della dimostrazione). » Calcolo di radice di 5 mediante 4 successioni di punto fisso. » Interpolazione: introduzione. » Esistenza e unicita' del polinomio interpolatore (con dimostrazione) » Errore di interpolazione (senza dimostrazione) » Videolezione in streaming, » Download, » Esempio di stima dell'errore di interpolazione. » Convergenza dell'interpolazione polinomiale: nodi equispaziati e di tipo Chebyshev; » Convergenza uniforme: una stima uniforme dell'errore tra funzione e polinomio interpolatore; » Teorema di Faber e di Bernstein; » Controesempio di Runge: comportamento dell'interpolante in nodi equispaziati e di Chebyshev; » Stabilita' dell'interpolazione polinomiale (introduzione del problema); » Videolezione in streaming, » Download, » Le matrici: gestione di matrici particolari con [A; B] e [A B]. » Definizione di una funzione » Definizione di una funzione: le directories » Definizione di una funzione: variabili locali » Definizione di una funzione: piu variabili in input e output » Operatori di relazione e condizionali (con esempi) » Le istruzioni condizionali: if then else (con esempi) » Le istruzioni condizionali: switch (con esempi) » Ciclo For (con esempi) » Ciclo While (con esempi) » Videolezione in streaming, » Download, » Stabilita' dell'interpolazione polinomiale: stime, costante di Lebesgue; » Costante di Lebesgue per nodi equispaziati e di Chebyshev. » Un problema dell'interpolazione polinomiale. » Funzioni polinomiali a tratti. Funzioni polinomiali a tratti, interpolanti e di grado "s". » Esistenza e unicita' delle funzioni polinomiali a tratti, interpolanti e di grado "s" su dati che sono multiplo di "s". » Errore dell'interpolante polinomiale a tratti di grado 1 (con dimostrazione). » Videolezione in streaming, » Download, » Convergenza uniforme delle funzioni polinomiali a tratti, interpolanti e di grado "1". » Splines. » Differenza tra splines e interpolanti polinomiali a tratti. » Splines cubiche interpolanti. » Analisi dell'unicita' delle splines cubiche. » Splines naturali, vincolate e periodiche. » Splines not-a-knot. » Videolezione in streaming, » Download, » Relazioni tra ciclo for e ciclo while (con esempi) » Gestione dei files dei dati. Salvare dati su file. » Altri comandi. » Radici di Secondo grado in Matlab: metodo stabile e instabile. » Calcolo di pi greco mediante successioni. » Una successione ricorrente. » Il video della lezione del Dott. F. Piazzon NON e' disponibile (si consulti la pagina web url). » Convergenza delle splines cubiche. » Osservazione sulla convergenza uniforme. » Esperimento di Runge con splines. » Problema ai minimi quadrati: definizione e motivazioni. » Teorema che lega il numero di campionamenti all'errore dei minimi quadrati. » Videolezione in streaming, » Download. » Metodo di bisezione in Matlab (con demo). » Metodo di Newton in Matlab (con cicli while). » Metodo di Newton in Matlab (con cicli for, esercizio). » Il video della lezione del Dott. F. Piazzon NON e' disponibile. Si consideri: Videolezione in streaming. » Curve fitting. » Regressione lineare (con esempio). » Minimi quadrati e ricostruzione di funzione da dati perturbati.. » Derivazione e un risultato negativo di convergenza uniforme. » Analisi del rapporto incrementale (con dimostrazione). » Instabilita' del rapporto incrementale (asserto). » Videolezione in streaming, » Download. » Instabilita' del rapporto incrementale (con dimostrazione). » Esempi. » Analisi del metodo del rapporto incrementale simmetrico (con dimostrazione). » Instabilita' del metodo del rapporto incrementale simmetrico (con dimostrazione). » Esempi. » Integrazione numerica: stabilita' e convergenza uniforme (con dimostrazione). » Videolezione in streaming, » Download. » Interpolazione in Matlab: polyfit e polyval. » La funzione di Runge in Matlab (esempio, con demo). » Esercizi. » Videolezione in streaming (parte I), » Videolezione in streaming (parte II), » Formule interpolatorie. » Grado di precisione. » Grado di precisione delle formule interpolatorie. » Regole del rettangolo: definizione ed errore. » Regola midpoint: definizione ed errore. » Formule di Newton-Cotes chiuse. » Regola del trapezio ed errore. » Regola di Cavalieri-Simpson ed errore. » Videolezione in streaming, » Download. » Videolezione in streaming (repost), » Download (repost). » Formule composte e interpolanti a tratti. » Formula composta midpoint, errore, grado di precisione, esempio. » Formula composta trapezi, errore, grado di precisione, esempio. » Formula composta Cavalieri-Simpson, errore, grado di precisione, esempio. » Formule composte: esempi e rapporti di convergenza. » Videolezione in streaming, » Download. » Splines in Matlab: interp1 e spline. » Alcuni esempi. » Esercizi. » Videolezione in streaming, » Norma di vettori (definizione) » Norme "p" e infinito. » Esempi. » Norme indotte di matrici (definizione). » Raggio spettrale. » Norme indotte di matrici (esempi p=1, p=2, p=inf). » Risoluzione di sistemi lineari con termini noti perturbati. » Sistemi perturbato Ax=b e numero di condizionamento (dimostrazione caso perturbazione termine noto, con dimostrazione). » Un esempio. » Sistemi perturbato Ax=b e numero di condizionamento (dimostrazione caso perturbazione matrice, con dimostrazione ptI). » Videolezione in streaming, » Download. » Sistemi perturbati Ax=b e numero di condizionamento (dimostrazione caso perturbazione matrice, con dimostrazione, ptII). » Sistemi perturbati Ax=b e numero di condizionamento (dimostrazione caso generale, solo asserto). » Sistemi lineari. Un esempio. » Matrici triangolari. » Risoluzione numerica di sistemi Ax=b con A matrice triangolare. » Risoluzione numerica di sistemi Ax=b con A matrice triangolare: complessita' computazionale. » Risoluzione di sistemi lineari (esempio matriciale). » Fattorizzazione LU. » Risoluzione di sistemi lineari e loro legame con la fattorizzazione LU. » Videolezione in streaming, » Download. [lezione da svolgere] » Approssimazione ai minimi quadrati in Matlab; » Polyfit e minimi quadrati; » Regressione lineare con esempio in Matlab; » Minimi quadrati e dati perturbati con esempio in Matlab; » Esercizi. » Videolezione in streaming, » Problematiche della fattorizzazione LU e della risoluzione dei sistemi lineari. » Risoluzioni di sistemi lineari con pivoting. » Fattorizzazione PA=LU. » Matrici cui a priori non serve pivoting: a predominanza diagonale, simmetriche definite positive. » Pseudocodice A=LU. » Complessita' computazionale A=LU (senza dimostrazione). » Tempi di calcolo. » Fattorizzazione Cholesky e sua complessita'. » Risoluzione del sistema Ax=b, nota PA=LU. » Determinante di una matrice: complessita' Laplace vs LU. » Inversa: cofattori vs LU. » Videolezione in streaming, [da svolgere] » Download. [da svolgere] » Metodi iterativi e metodi diretti: breve introduzione. » Splitting A=D-E-F. » Splitting A=P-N. » Metodi iterativi stazionari: x^(k+1)=Bx^(k)+c. » Splitting A=P-N: caso Jacobi. » Metodo di Jacobi (esempio matrice 3 x 3). » Splitting A=P-N: caso Gauss-Seidel. » Metodo di Gauss-Seidel (esempio matrice 3 x 3). » Videolezione in streaming, [da svolgere] » Download. [da svolgere] » Regola dei trapezi e di Cavalieri-Simpson; » Una demo di esempio sulla regola dei trapezi e di Cavalieri-Simpson; » Formula dei trapezi composta; » Formula dei trapezi composta: implementazione in Matlab; » Formula dei Cavalieri-Simpson composta; » Formula dei Cavalieri-Simpson composta: implementazione in Matlab; » Una demo di esempio sulla formula composta dei trapezi e di Cavalieri-Simpson; » Esercizio assegnato. » Videolezione in streaming, » Convergenza di Jacobi per matrici a pred. diag. stretta (senza dimostrazione). » Metodi iterativi e loro convergenza: esempi. » Test di arresto. » Sistemi sovradeterminati e soluzione ai minimi quadrati: definizione. » Sistemi sovradeterminati e soluzione ai minimi quadrati: teorema. » Legame tra soluzione dell'approssimazione ai minimi quadrati ed equazioni normali (senza dimostrazione). » Matrici rettangolari e fattorizzazione Cholesky. » Risoluzione equazioni normali con fattorizzazione Cholesky. » Videolezione in streaming, » Download. » Risoluzione equazioni normali con fattorizzazione Cholesky: un esempio. » Matrici rettangolari e fattorizzazione QR. » Risoluzione equazioni normali con fattorizzazione QR. » Risoluzione equazioni normali con fattorizzazione QR: un esempio. » Matrici rettangolari e fattorizzazione SVD. » Risoluzione equazioni normali con fattorizzazione SVD. » Risoluzione equazioni normali con fattorizzazione SVD: un esempio. » Videolezione in streaming, » Download. » Fattorizzazione LU ed eliminazione gaussiana in Matlab. » Il comando {\tt{mldivide}} (backslash); » Soluzione di sistemi lineari con » Fattorizzazione LU; » Fattorizzazione LU (esempi); » Soluzione di sistemi lineari nota la fattorizzazione LU; » Esercizi. » Videolezione in streaming, |