Didattica, 2019-2020,
Calcolo Numerico (Ing. Energia, Canale B)




Calendario lezioni (totale 64 ore, di cui 16 di laboratorio)


Lezione 1,
» Introduzione al corso (1h).
» Rappresentazione dei numeri reali.
» Un esempio.
» Numeri macchina.
» Alcune proprieta' numeri macchina (minimo, massimo).

Lezione 2,
» Alcune proprieta' numeri macchina (cardinalita', spaziatura).
» Precisione singola e doppia.
» Troncamento e arrotondamento (con esempi e osservazioni).
» Precisione di macchina.
» Errori relativi e assoluti (per numeri e vettori), con esempi.
» Unita' di arrotondamento.

Lezione 1 di Laboratorio,
» Matlab e Octave.
» Interfaccia grafica di Matlab.
» Command Window.
» Variabili.
» Valori che possono assumere le variabili (scalari, vettori, matrici, stringhe).
» Operazioni e funzioni elementari predefinite (con esempi).
» Alcune costanti.
» Help di Matlab.
» Assegnazioni.
» Il comando "whos".
» Vettori riga e colonna in Matlab.
» Comandi "length" e "size", "zeros", "ones".
» Vettori equispaziati come "a:h:b" o con "linspace".
» Accesso alle componenti di un vettore.

Lezione 3,
» Operazioni con i numeri macchina.
» Proprietà commutativa, associativa e distributiva delle operazioni floating point (con esempi).
» Errori nelle operazioni e loro propagazione.
» Il caso della somma, con dimostrazione.
» Esempio sulla cancellazione.
» Il caso del prodotto, con dimostrazione.
» Alcune problematiche numeriche.
» Valutazione di una funzione (condizionamento di una funzione).
» Alcuni esempi del condizionamento.

Lezione 4,
» Stabilita' di un algoritmo.
» Calcolo di una radice di secondo grado.
» Approssimazione di pi greco.
» Una successione ricorrente.
» Sulla somma ((1+x)-1)/x.
» Sulla valutazione di f(x)=x come tan(arctan(x)).
» Valutazione di polinomi: complessita' computazionale.

Lezione 2 di Laboratorio,
» Operazioni elementari di tipo vettoriale.
» Funzioni elementari e loro applicazione a vettori.
» Note sulle operazioni moltiplicative.
» Somma tra scalari e vettori.
» Operazioni moltiplicative tra scalari e vettori.
» Definizione di funzioni matematiche.
» La grafica di Matlab e il comando plot.

Lezione 5,
» Potenza di un numero.
» Esponenziale di un numero.
» Determinanti: confronto della regola di Laplace e metodo con fattorizzazione LU.
» Soluzione numerica di equazioni nonlineari esempi, grafici e metodi iterativi.
» Ordine di convergenza, con esempio.
» Metodo di bisezione.

Lezione 6,
» Convergenza del metodo di bisezione (con dimostrazione).
» Test di arresto per il metodo di bisezione (con esempi).
» Metodo di Newton.
» Interpretazione grafica del metodo di Newton.
» Test di arresto per il metodo di Newton.
» Un teorema di convergenza locale per il metodo di Newton (traccia della dimostrazione, parte I).

Lezione 3 di Laboratorio
» La scala semilogaritmica
» Altri comandi per grafici
» I comandi legend e title
» Le stringhe di testo
» I comandi format, disp, fprintf
» Le matrici: definizione.
» Alcune funzioni matriciali di Matlab.
» Operazioni elementari con Matrici.
» Prodotto matrice vettore
» Soluzione di sistemi lineari.
» Le matrici: gestione di matrici particolari con [A; B] e [A B].
» Definizione di una funzione
» Definizione di una funzione: le directories
» Definizione di una funzione: variabili locali
» Definizione di una funzione: piu variabili in input e output

Lezione 7,
» Un teorema di convergenza locale per il metodo di Newton (traccia della dimostrazione, parte II).
» Un teorema di convergenza globale per il metodo di Newton (con dimostrazione).
» Newton e zeri multipli.
» Newton: alcuni esempi (casi semplici e multipli).

Lezione 8,
» Newton: radici quadrate ed n-sime.
» Metodo delle secanti.
» Metodo delle secanti: un teorema di convergenza.
» Metodo delle secanti: un esempio.
» Metodi di punto fisso: introduzione.
» Teorema di punto fisso di Banach (dimostrazione punto 3 (ordine convergenza)).
» Un teorema di punto fisso di convergenza locale (senza dimostrazione).
» Un teorema di punto fisso di convergenza locale (ordine p, senza dimostrazione).
» Metodo di Newton come metodo di punto fisso.
» Metodo di Newton e teorema di punto fisso di convergenza locale (traccia della dimostrazione).
» Calcolo di radice di 5 mediante 4 successioni di punto fisso.

Lezione 4 di Laboratorio,
» Operatori di relazione e condizionali (con esempi)
» Le istruzioni condizionali: if then else (con esempi)
» Le istruzioni condizionali: switch (con esempi)
» Ciclo For (con esempi)
» Ciclo While (con esempi)
» Relazioni tra ciclo for e ciclo while (con esempi)
» Gestione dei fles dei dati. Come caricare dati da files (con esempi)
» Gestione dei files dei dati. Salvare dati su file.
» Altri comandi.
» Radici di Secondo grado in Matlab: metodo stabile e instabile.
» Calcolo di pi greco mediante successioni.

Lezione 9,
» Interpolazione: introduzione.
» Esistenza e unicita' del polinomio interpolatore (con dimostrazione)
» Errore di interpolazione (con dimostrazione)
» Esempio di stima dell'errore di interpolazione.

Lezione 10,
» Convergenza dell'interpolazione polinomiale: nodi equispaziati e di tipo Chebyshev;
» Convergenza uniforme: una stima uniforme dell'errore tra funzione e polinomio interpolatore;
» Teorema di Faber e di Bernstein;
» Controesempio di Runge: comportamento dell'interpolante in nodi equispaziati e di Chebyshev;
» Stabilita' dell'interpolazione polinomiale: stime, costante di Lebesgue;
» Costante di Lebesgue per nodi equispaziati e di Chebyshev.

Lezione 5 di Laboratorio,
» Una successione ricorrente: (utilizzo successioni, if then else e cicli for, anche con indice negativo);
» Valutazione di polinomi: (chiamate di functions da una function).

Lezione 11,
» Un problema dell'interpolazione polinomiale.
» Funzioni polinomiali a tratti. Funzioni polinomiali a tratti, interpolanti e di grado "s".
» Esistenza e unicita' delle funzioni polinomiali a tratti, interpolanti e di grado "s" su dati che sono multiplo di "s".
» Errore dell'interpolante polinomiale a tratti di grado 1.
» Convergenza uniforme delle funzioni polinomiali a tratti, interpolanti e di grado "1".

Lezione 12,
» Splines.
» Differenza tra splines e interpolanti polinomiali a tratti.
» Splines cubiche interpolanti.
» Analisi dell'unicita' delle splines cubiche.
» Splines naturali, vincolate e periodiche.
» Splines not-a-knot.
» Convergenza delle splines cubiche.
» Osservazione sulla convergenza uniforme.
» Esperimento di Runge con splines.

Lezione 6 di Laboratorio,
» Metodo di bisezione in Matlab (con demo).
» Metodo di Newton in Matlab (con cicli while).
» Metodo di Newton in Matlab (con cicli for, esercizio).

Lezione 13,
» Problema ai minimi quadrati: definizione e motivazioni.
» Teorema che lega il numero di campionamenti all'errore dei minimi quadrati.
» Alcuni esempi.
» Curve fitting.
» Regressione lineare (con esempio).
» Minimi quadrati e ricostruzione di funzione da dati perturbati..

Lezione 14,
» Derivazione e un risultato negativo di convergenza uniforme.
» Analisi del rapporto incrementale (con dimostrazione).
» Instabilita' del rapporto incrementale (con dimostrazione).
» Esempi.
» Analisi del metodo alle differenze simmetriche (con dimostrazione).
» Instabilita' del rapporto incrementale (con dimostrazione).
» Esempi.

Lezione 7 di Laboratorio,
» Interpolazione in Matlab: polyfit e polyval.
» La funzione di Runge in Matlab (esempio, con demo).
» Esercizi.

Lezione 15,
» Integrazione numerica: stabilita' e convergenza uniforme (con dimostrazione).
» Formule interpolatorie.
» Grado di precisione.
» Grado di precisione delle formule interpolatorie.
» Regole del rettangolo: definizione ed errore.
» Regola midpoint: definizione ed errore.
» Formule di Newton-Cotes chiuse.
» Regola del trapezio ed errore.
» Regola di Cavalieri-Simpson ed errore.

Lezione 16,
» Formule composte e splines.
» Formula composta midpoint, errore, grado di precisione, esempio.
» Formula composta trapezi, errore, grado di precisione, esempio.
» Formula composta Cavalieri-Simpson, errore, grado di precisione, esempio.
» Formule composte: esempi e rapporti di convergenza.
» Stabilita' formule di quadratura (con dimostrazione).

Lezione 8 di Laboratorio,
» Splines in Matlab: interp1 e spline.
» alcuni esempi.
» Esercizi.

Lezione 17,
» Convergenza di alcune formule di quadratura (legame con la convergenza uniforme).
» Il caso delle formule di Newton-Cotes, di quelle basate sull'integrazione di interpolanti in nodi di Chebyshev e delle formule composte.
» Esempi.
» Il concetto di estrapolazione.
» Estrapolazione di Richardson.
» Le tabelle di estrapolazione.
» Formula dei trapezi composte e metodo di Romberg.

Lezione 18,
» Norma di vettori (definizione)
» Norme "p" e infinito.
» Esempi.
» Norme indotte di matrici (definizione).
» Raggio spettrale.
» Norme indotte di matrici (esempi p=1, p=2, p=inf).
» Risoluzione di sistemi lineari con termini noti perturbati.

Lezione 19,
» Sistemi perturbato Ax=b e numero di condizionamento (dimostrazione caso particolare).
» Un esempio.
» Sistemi perturbato Ax=b e numero di condizionamento (caso generale, solo asserto).
» Sistemi lineari. Un esempio.
» Matrici triangolari.
» Risoluzione numerica di sistemi Ax=b con A matrice triangolare.
» Risoluzione numerica di sistemi Ax=b con A matrice triangolare: complessita' computazionale.

Lezione 20,
» Risoluzione di sistemi lineari (esempio matriciale).
» Fattorizzazione LU.
» Risoluzione di sistemi lineari e loro legame con la fattorizzazione LU.
» Problematiche della fattorizzazione LU e della risoluzione dei sistemi lineari.
» Risoluzioni di sistemi lineari con pivoting.
» Fattorizzazione PA=LU.

Lezione 21,
» Fattorizzazione PA=LU (note su P).
» Matrici cui a priori non serve pivoting: a predominanza diagonale, simmetriche definite positive.
» Pseudocodice A=LU.
» Complessita' computazionale A=LU (senza dimostrazione).
» Tempi di calcolo.
» Fattorizzazione Cholesky e sua complessita'.
» Risoluzione del sistema Ax=b, nota PA=LU.
» Determinante di una matrice: complessita' Laplace vs LU.
» Inversa: cofattori vs LU.

Lezione 22,
» Metodi iterativi e metodi diretti: breve introduzione.
» Metodi iterativi stazionari: x^(k+1)=Bx^(k)+c.
» Metodi iterativi stazionari: legame tra metodo e soluzione di un problema di punto fisso.
» Metodi iterativi stazionari: un teorema di convergenza globale legato alla norma di B (con dimostrazione).
» Metodi iterativi stazionari: un teorema di convergenza globale legato al raggio spettrale di B (senza dimostrazione).
» Metodo di Jacobi (esempio matrice 3 x 3).

Lezione 23,
» Metodo di Gauss-Seidel (esempio matrice 3 x 3).
» Metodi di Jacobi e Gauss-Seidel (caso generale).
» Splitting A=D-E-F.
» Splitting A=P-N.
» Splitting A=P-N: caso Jacobi.
» Splitting A=P-N: caso Gauss-Seidel.
» Convergenza di Jacobi per matrici a pred. diag. stretta (con dimostrazione).

Lezione 24,
» Metodi iterativi e loro convergenza: esempi.
» Sistemi sovradeterminati e soluzione ai minimi quadrati: definizione.
» Sistemi sovradeterminati: un esempio geometrico.
» Legame tra soluzione ai minimi quadrati ed equazioni normali (senza dimostrazione).
» Matrici rettangolari e fattorizzazione QR.
» Risoluzione equazioni normali con fattorizzazione QR.
» Risoluzione equazioni normali con fattorizzazione QR: un esempio.