Gli ''Elementi'' di Euclide. Analisi della struttura dell'opera, con particolare riferimento al Libro I. Definizioni, assiomi e postulati. Il problema dell'indipendenza e della non contraddizione degli assiomi.
''I Principi Fondamentali della Geometria'' di Hilbert. Analisi della struttura dell'opera, con particolare riferimento al Capitolo 1. I cinque gruppi di assiomi. Il problema dell'indipendenza e della non contraddizione degli assiomi, e la soluzione proposta da Hilbert.
Il fallimento del programma di Hilbert. I teoremi di incompletezza di Gödel (brevi cenni di Logica Matematica).
Introduzione alle geometrie non euclidee. La geometria ellittica di Riemann. La geometria iperbolica di Lobachevski. I tre modelli del piano iperbolico: il modello di Klein, il modello del disco unitario di Poincaré e il modello del semipiano superiore.
Alcuni cenni di geometria differenziale: varietà differenziabili, metriche, curvatura, geodetiche.
Studio della geometria iperbolica nel modello del semipiano superiore. La definizione della metrica. Alcuni cenni di geometria differenziale: metriche, geodetiche e isometrie. Le rette nel piano iperbolico. La distanza tra due punti. Le isometrie del piano iperbolico: isometrie dirette e isometrie inverse. Le trasformazioni lineari fratte. Il gruppo delle isometrie dirette e la caratterizzazione delle isometrie inverse. Il birapporto di quattro punti. La distanza tra due punti espressa in termini del birapporto.
I triangoli nel piano iperbolico. Triangoli semplicemente, doppiamente e triplamente asintotici. Criteri per la congruenza dei triangoli. L'area di un triangolo. La somma degli angoli interni di un triangolo.
Alcuni risultati di geometria iperbolica: uguaglianza degli angoli di parallelismo associati a una retta e un punto, il teorema di Lobachevski (relazione tra angolo di parallelismo e distanza).
Il modello del disco unitario di Poincaré. La metrica iperbolica nel modello del disco unitario. L'isometria tra il modello del semipiano superiore e il modello del disco unitario.
I cerchi nel piano iperbolico (nei modelli del disco unitario e del semipiano superiore). La lunghezza della circonferenza e l'area di un cerchio di raggio R. Cicli, orocicli e ipercicli.
Altro:
L'esame consiste in una prova orale. Oltre alla modalità classica (domande sul programma svolto durante il corso), lo studente può scegliere di preparare una lezione, della durata di 45 minuti circa, su un particolare argomento, da concordare con il docente. Per la scelta degli argomenti e per fissare la data dell'esame, si prega di contattare il docente personalmente, oppure per posta elettronica.
