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| Questo spazio è dedicato al corso di Superficie di Riemann per il corso di Laurea in Matematica per l'anno accademico 2015/2016 (secondo semestre). |
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Il corso è tenuto da M.Cailotto
e A.Iovita (ultime due settimane),
e il suo scopo è
dare una introduzione elementare, appoggiata continuamente
su diversi esempi importanti, alla nozione di Superficie di Riemann,
con particolare riferimento alle Superficie di Riemann compatte, loro relazione
con le curve algebriche complesse,
e ai significati analitico/geometrici del genere
(teoremi di Riemann-Roch e Abel-Jacobi).
Idea di massima del programma: - Richiami sulle superficie reali compatte: triangolazioni, caratteristica di Eulero-Poincaré, genere (topologico), classificazione. Rivestimenti ramificati, teorema di Hurwitz; calcolo del genere per curve piane complesse, relazioni con il grado e le singolarità. - Richiami di analisi complessa sulle funzioni olomorfe; definizione di Superficie di Riemann ed esempi (sfera di Riemann, tori complessi, superficie del logaritmo e delle radici). - Teorema di normalizzazione (e desingolarizzazione) per curve algebriche piane complesse. - Teorema di Riemann-Roch e significato geometrico-analitico del genere; immersioni di Superficie di Riemann in Spazi Proiettivi e classificazioni per generi piccoli; altre applicazioni; cenni ai problemi di "spazi di moduli". - Mappa di Abel-Jacobi, teoremi di Abel e di Jacobi. Molta enfasi sarà posta su esempi significativi e ``concreti''. Il corso è di carattere elementare, particolarmente adatto agli studenti del terzo anno, e i prerequisiti si riducono alla conoscenza elementare degli spazi proiettivi (Geometria 2) e alle nozioni elementari sulle curve complesse (Curve algebriche piane), e (dalla seconda parte) alle nozioni fondamentali sulle funzioni olomorfe (prima parte di Metodi Matematici) che saranno comunque richiamati all'occorrenza. |
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Orari previsti: pomeriggi (14.30-16.15) di lunedi e martedi.
Prima lezione: martedi` 1 marzo 2016. |
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Modalità di esame: l'esame sarà scritto,
seguito da una eventuale integrazione orale (discussione sullo scritto).
Data una SdR compatta (generalmente sotto forma di desingolarizzata di una
curva proiettiva), bisognera` calcolarne il genere in un paio di modi
diversi, e poi discutere qualche applicazione elementare del teorema di
Riemann-Roch per quella SdR.
Eventualmente un piccolo esercizio teorico per avere un voto alto.
Si decidera` con gli studenti se fare delle prove parziali durante il corso: primo il 29.4 (testo), secondo il 7.6 (testo). Risultati complessivi: 30 a boel, cafr, mose, moro, pima, vida; 28 a fari, mada, pase, seiv, vogi; 27 a coal, lolu; 26 a baem, sier; 25 a coel; 21 a mest (le sigle sono le iniziali di cognome e nome). Gli elaborati possono essere ritirati presso l'ufficio del docente in orario di ricevimento. Per registrare il voto basta iscriversi alla lista uniweb corrispondente, o inviarmi un messaggio in caso non si riuscisse. Date d'esame scritto: 21.6 testo, 12.7 testo (risultati: DBG 25, MS 27,MM 26, SG 24, le sigle sono iniziali di cognome e nome; per vedere i compiti basta passare in ufficio, per registrare il voto basta inviarmi una mail), 30.8 testo, 13.9 testo (risultati: 29 per entrambi i candidati; per vedere i compiti basta passare in ufficio). |
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Riferimenti bibliografici:
non si seguirà nessun libro in particolare,
ma ci saranno delle note che saranno aggiornate a febbraio
(sdrc-aa2015/16)
che comunque coprono gli argomenti trattati a lezione;
si segnalano per consultazione, e confronto con le lezioni, i seguenti testi,
di carattere introduttivo-elementare
(si consiglia per consultazione soprattutto il libro di Miranda,
ormai molto usato; in italiano c'e` il Cassa, che pero` e` piu` datato):
A.Cassa: Teoria elementare delle curve algebriche piane e delle superfici di Riemann compatte. F.Kirwan: Complex Algebraic Curves. R.Miranda: Algebraic curves and Riemann surfaces. Ph.A.Griffiths: Introduction to algebraic curves. e i seguenti altri di carattere introduttivo ma più avanzato: O.Forster: Lectures on Riemann Surfaces. H.M.Farkas: Riemann surfaces. Narasimhan: Compact Riemann surfaces. |
Last modified: Febbraio, 2016
Author: Myself
Per qualunque informazione o richiesta,
scrivetemi.