Programma del corso di Geometria Algebrica

Università degli Studi di Salerno

A.A. 2007-08.

Osservazione: il programma può essere suddiviso in due parti essenzialmente indipendenti (da circa 3 cfu ciascuna). Gli studenti che hanno inserito nel loro piano di studi il corso di Geometria Algebrica dell'anno 2006-2007, il quale valeva solo 3 cfu, devono sostenere l'esame solo sulla seconda parte del programma.

Prima parte:

Curve piane affini: rappresentazione parametrica e cartesiana. Curve riducibili e irriducibili, grado di una curva. Il problema della classificazione affine delle curve.

Curve piane proiettive. Chiusura proiettiva di una curva affine. Il problema della classificazione proiettiva delle curve.

Intersezioni tra una retta e una curva, molteplicità di intersezione. Il risultante di due polinomi. Il discriminante di un polinomio. Intersezioni tra due curve: teorema di Bezout (versione debole).

Molteplicità di un punto di una curva, punti singolari e punti non singolari. Rette tangenti a una curva: tangenti e tangenti principali in un punto singolare.

Punti di flesso: l'hessiana di una curva.

Le curve polari di una curva rispetto a un punto dato. Proprietà della prima polare.

Sistemi lineari di curve. Condizioni lineari. Punti base di un sistema lineare. Fasci di curve.

Classificazione proiettiva delle curve cubiche complesse. L'equazione di Legendre e l'equazione di Weierstrass. Proprietà dei punti di flesso di una cubica. Richiami sulla nozione di birapporto di quattro punti. Il modulo (o invariante j) di una cubica. La legge di gruppo sull'insieme dei punti di una cubica non singolare.

Curve ellittiche e tori complessi. La funzione ℘ di Weierstrass e le sue principali proprietà. L'immersione di un toro complesso nel piano proiettivo.

Seconda parte:

Varietà affini: insiemi algebrici e varietà, l'anello delle coordinate affini, funzioni regolari, dimensione di una varietà affine.

Varietà proiettive: definizione ed esempi, relazioni tra varietà affini e varietà proiettive.

Morfismi di varietà. Anelli di funzioni associati alle varietà. Un'equivalenza di categorie. Prodotto di due varietà affini, prodotto di due varietà proiettive.

Mappe razionali, equivalenza birazionale. Varietà non-singolari.

Testi consigliati:

Altro:

Modalità d'esame

L'esame consiste in una prova orale. Oltre alla modalità classica (domande sul programma svolto durante il corso), lo studente può scegliere di preparare una lezione, della durata di 45 minuti circa, su un particolare argomento, da concordare con il docente. Per la scelta degli argomenti e per fissare la data dell'esame, si prega di contattare il docente personalmente, oppure per posta elettronica. Si noti che durante la prova orale è possibile (anzi, molto probabile) che venga richiesto anche lo svolgimento di qualche esercizio scritto, principalmente (ma non esclusivamente) sulla prima parte del programma.

Gli studenti che devono sostenere l'esame di Geometria Algebrica da 3 cfu (anno accademico 2006-07) devono portare solo la seconda parte del programma.