Università degli Studi di Padova
Dipartimento di Matematica 'Tullio Levi-Civita'
Corso di Dottorato
Hyperbolic geometry, continued fractions and cluster algebras
Spring 2025

  • Instructor: Dr. Daniel Labardini Fragoso (Torre Archimede 6CD5)
    Place: Torre Archimede 2BC30
    Schedule: Wed, Th, Fr. March 2025. April 2025. First lecture: Wednesday 12th of march, 2025
    Last lecture: Wednesday 9th of april,2025


Lecture recordings:

1. Hyperbolic Geometry
  1. Möbius transformations 1.
    12.03.2025.
    Video.
  2. Möbius transformations 2.
    14.03.2025.
    Video.
  3. Models and isometries of the hyperbolic plane.
    19.03.2025.
    Video.
  4. Ptolemy's identity in the hyperbolic plane 1.
    20.03.2025.
    Video.
  5. Ptolemy's identity in the hyperbolic plane 2,
    the Farey diagram and its symmetries 1.
    21.03.2025.
    Video.
  6. The Farey diagram and its symmetries 2.
    26.03.2025.
    Video.
  7. The Farey diagram and its symmetries 3.
    27.03.2025.
2. Continued fractions
  1. Continued fractions 1.
    28.03.2025.
    Video.
  2. Continued fractions 2.
    28.03.2025.
3. Cluster algebras
  1. Basic definitions and examples.
    28.03.2025.
    Video.


References:
  1. James Anderson. Hyperbolic geometry. Springer-Verlag. Springer Undergraduate Mathematics Series. 2007.
  2. Ilke Canakci, Ralf Schiffler. Cluster algebras and continued fractions. Compositio Mathematica 154 (2018), no. 3, 565--593. arXiv:1608.06568
  3. Ilke Canakci, Ralf Schiffler. Snake graphs and continued fractions. European Journal of Combinatorics 86 (2020), 103081, 19 pp. arXiv:1711.02461
  4. James W. Cannon, William J. Floyd, Richard Kenyon, Walter R. Parry. Hyperbolic Geometry. Flavors of Geometry (edited by Silvio Levy). Cambridge University Press, MSRI Publications, Volume 31. 1997.
  5. Sergey Fomin, Andrei Zelevinsky. Cluster algebras IV: Coefficients. Compos. Math. 143 (2007), no. 1, 112--164. arXiv:math/0602259
  6. Allen Hatcher. Topology of numbers. American Mathematical Society, 2022.
  7. Serge Lang. Introduction to Diophantine approximations, 2nd ed. Springer-Verlag, 1995.
  8. William J. LeVeque. Elementary Theory of Numbers. Dover Publications, 1990.
  9. Toshihiro Nakanishi. An application of Penner's coordinates of Teichmüller space of punctured surfaces. RIMS Kokyuroku Bessatsu, Kyoto, 2010. B17: Infinite dimensional Teichmüller spaces and moduli spaces, 105--114.
  10. Robert Penner. Lambda lengths. http://www.ctqm.au.dk/research/MCS/lambdalengths.pdf
  11. Robert Penner. Decorated Teichmüller Theory. European Mathematical Society, the QGM Master Class Series. 2012. DOI 10.4171/075
  12. Boris Springborn. The hyperbolic geometry of Markov?s theorem on Diophantine approximation and quadratic forms. L'Enseignement Mathématique (2) 63 (2017), 333--373. arXiv:1702.05061
  13. Lauren K. Williams. Cluster algebras: an introduction. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 51 (2014), no. 1, 1--26. arXiv:1212.6263
  14. P.M.H. Wilson. Curved spaces: From Classical Geometries to Elementary Differential Geometry. Cambridge University Press. 2008.

UNAM
Posgrado en Matemáticas
Temas Selectos de Álgebra (9 créditos)
Teoría de Números Algebraicos
Semestre 2024-1

  • Profesor: Dr. Daniel Labardini Fragoso (IM-CU-109)
    Lugar: Salón Graciela Salicrup del IM-CU
    Horario: Lu, Ma, Mi, 10:00 - 12:00 hrs.
    Temario
    Evaluación:
                Notas de clase: 25 %
                Tareas: 25 %
                Exposición: 25 %
                Examen final: 25 %
    Inicio de clases: Lunes 7 de agosto de 2023
    Último día de clases: Viernes 24 de noviembre de 2023
    Examen final: Del 27 de noviembre al 8 de diciembre de 2023
    Calendario escolar UNAM

    • Aquí puedes ver la lista completa de cursos ofrecidos por el Posgrado en Ciencias Matemáticas de la UNAM durante el semestre 2024-1.

Bitácora:

1. Preliminares algebraicos
  1. Anillos y campos,
    factorización de polinomios.
    07.08.2023 (semana 1).
    Tomó notas durante la clase: Roberto Manríquez Castillo
  2. Factorización de polinomios.
    08.08.2023 (semana 1).
    Tomó notas durante la clase: Roberto Manríquez Castillo
  3. Factorización de polinomios,
    extensiones de campos,
    polinomios simétricos.
    09.08.2023 (semana 1).
    Tomó notas durante la clase: Roberto Manríquez Castillo
  4. Polinomios simétricos,
    módulos,
    grupos abelianos libres.
    14.08.2023 (semana 2).
    Tomó notas durante la clase: Javier Alejandro de Loera Chávez.
  5. Grupos abelianos libres,
    Localización.
    15.08.2023 (semana 2).
    Tomó notas durante la clase: Javier Alejandro de Loera Chávez.

2. Números algebraicos
  1. Localización (final),
    números algebraicos,
    conjugados y discriminantes.
    16.08.2023 (semana 2).
    Tomó notas durante la clase: Javier Alejandro de Loera Chávez.
  2. Conjugados y discriminantes,
    enteros algebraicos.
    21.08.2023 (semana 3).
    Tomó notas durante la clase: Luis Adrián Pedroza Rojas
  3. Enteros algebraicos,
    bases enteras.
    22.08.2023 (semana 3).
    Tomó notas durante la clase: Luis Adrián Pedroza Rojas
  4. ---
    23.08.2023 (semana 3).
  5. Bases enteras,
    normas y trazas.
    28.08.2023 (semana 4).
    Tomó notas durante la clase: Alejandro Martínez Maza
  6. Anillos de enteros algebraicos.
    29.082023 (semana 4).
    Tomó notas durante la clase: Alejandro Martínez Maza
  7. Anillos de enteros algebraicos (final),
    campos cuadráticos,
    campos ciclotómicos (inicio).
    30.08.2023 (semana 4).
    Tomó notas durante la clase: Alejandro Martínez Maza

3. Factorización en irreducibles
  1. Campos ciclotómicos (final),
    factorización en irreducibles.
    04.09.2023 (semana 5).
    Tomó notas durante la clase: Martín Carlos Alejandro Cigarroa Urrutia
  2. Ejemplos de falta de unicidad de factorización en irreducibles,
    factorización prima,
    dominios Euclidianos,
    campos cuadráticos Euclidianos.
    05.09.2023 (semana 5).
    Tomó notas durante la clase: Martín Carlos Alejandro Cigarroa Urrutia

4. Anillos Noetherianos y dominios de Dedekind
  1. Campos cuadráticos Euclidianos (final),
    Integralidad y Noetherianidad (inicio).
    06.09.2023 (semana 5).
    Tomó notas durante la clase: Martín Carlos Alejandro Cigarroa Urrutia
  2. ---
    11.09.2023 (semana 6).
  3. ---
    12.09.2023 (semana 6).
  4. ---
    13.09.2023 (semana 6).
  5. Integralidad y Noetherianidad (final).
    18.09.2023 (semana 7).
    Tomó notas durante la clase: notas durante la clase: Roberto Manríquez Castillo
  6. Productos de ideales,
    dominios de Dedekind (inicio).
    19.09.2023 (semana 7).
    Tomó notas durante la clase: notas durante la clase: Roberto Manríquez Castillo
  7. Dominios de Dedekind (final),
    la norma de un ideal (inicio).
    20.09.2023 (semana 7).
    Tomó notas durante la clase: notas durante la clase: Roberto Manríquez Castillo

5. Retículas
  1. La norma de un ideal (final).
    Retículas (inicio).
    25.09.2023 (semana 8).
    Tomó notas durante la clase: Javier Alejandro de Loera Chávez.
  2. Retículas (final),
    el toro cociente,
    el teorema de Minkowski,
    el encaje canónico de un campo de números algebraicos (inicio).
    26.09.2023 (semana 8).
    Tomó notas durante la clase: Javier Alejandro de Loera Chávez.
  3. ---
    27.09.2023 (semana 8).

6. El grupo de clases de ideales y el número de clases de ideales
  1. ---
    02.10.2023 (semana 9).
  2. El encaje canónico de un campo de números algebraicos (continuación).
    03.10.2023 (semana 9).
    Tomó notas durante la clase: Luis Adrián Pedroza Rojas
  3. ---
    04.10.2023 (semana 9).
  4. El encaje canónico de un campo de números algebraicos (final).
    Finitud del grupo de clases de ideales,
    ¿cómo forzar un ideal a ser principal? (inicio).
    09.10.2023 (semana 10).
    Tomó notas durante la clase: Alejandro Martínez Maza
  5. ¿Cómo forzar un ideal a ser principal? (final),
    unicidad de la factorización en un anillo extensión.
    10.10.2023 (semana 10).
    Tomó notas durante la clase: Alejandro Martínez Maza

7. El teorema de las unidades de Dirichlet
  1. El teorema de las unidades de Dirichlet (inicio).
    11.10.2023 (semana 10).
    Tomó notas durante la clase: Alejandro Martínez Maza
  2. El teorema de las unidades de Dirichlet (final),
    unidades en campos cuadráticos reales.
    16.10.2023 (semana 11).
    Tomó notas durante la clase: Martín Carlos Alejandro Cigarroa Urrutia

8. Cálculos explícitos
  1. Factorización de un número primo racional en una extensión finita de Q,
    factorización de un número primo racional en el anillo de enteros Gaussianos (inicio).
    17.10.2023 (semana 11).
    Tomó notas durante la clase: Martín Carlos Alejandro Cigarroa Urrutia
  2. Factorización de un número primo racional en el anillo de enteros Gaussianos (final),
    el teorema de los dos cuadrados,
    las constantes de Minkowski (inicio).
    18.10.2023 (semana 11).
    Tomó notas durante la clase: Martín Carlos Alejandro Cigarroa Urrutia

9. Extensiones de campos de números algebraicos
  1. Las constantes de Minkowski (final).
    Descomposición de un número primo en un anillo de enteros algebraicos.
    23.10.2023 (semana 12).
    Tomó notas durante la clase: Roberto Manríquez Castillo
  2. Descomposición de un ideal primo en una extensión finita de campos de números algebraicos (inicio).
    24.10.2023 (semana 12).
    Tomó notas durante la clase: Roberto Manríquez Castillo
  3. Descomposición de un ideal primo en una extensión finita de campos de números algebraicos (continuación).
    25.10.2023 (semana 12).
    Tomó notas durante la clase: Roberto Manríquez Castillo
  4. Descomposición de un ideal primo en una extensión finita de campos de números algebraicos (final),
    discriminante y ramificación.
    30.10.2023 (semana 13).
    Tomó notas durante la clase: Javier Alejandro de Loera Chávez
  5. Descomposición de un número primo racional en un campo cuadrático,
    la ley de reciprocidad cuadrática (inicio).
    31.10.2023 (semana 13).
    Tomó notas durante la clase: Javier Alejandro de Loera Chávez
  6. Asueto.
    01.11.2023 (semana 13).
  7. La ley de reciprocidad cuadrática (final).
    06.11.2023 (semana 14).
    Tomó notas durante la clase: Luis Adrián Pedroza Rojas

10. La prueba de Kummer del Último Teorema de Fermat para primos regulares
  1. Ternas Pitagóricas,
    n = 4,
    lemas de Kummer (inicio).
    07.11.2023 (semana 14).
    Tomó notas durante la clase: Luis Adrián Pedroza Rojas
  2. Lemas de Kummer (continuación).
    08.11.2023 (semana 14).
    Tomó notas durante la clase: Luis Adrián Pedroza Rojas
  3. Lemas de Kummer (final),
    Teorema de Kummer, caso p ⌿ xyz (inicio).
    13.11.2023 (semana 15).
    Tomó notas durante la clase: Alejandro Martínez Maza
  4. Teorema de Kummer, caso p ⌿ xyz (continuación),
    Teorema de Kummer, caso p | xyz (inicio).
    14.11.2023 (semana 15).
    Tomó notas durante la clase: Alejandro Martínez Maza
  5. Teorema de Kummer, caso p | xyz (continuación).
    15.11.2023 (semana 15).
    Tomó notas durante la clase: Alejandro Martínez Maza
  6. Asueto
    20.11.2023 (semana 16).
  7. Teorema de Kummer, caso p | xyz (final).
    21.11.2023 (semana 16).
    Tomó notas durante la clase: Martín Carlos Alejandro Cigarroa Urrutia

11. Extensiones de Galois de campos de números algebraicos
  1. El grupo de descomposición y el grupo de inercia,
    n = efg,
    el automorsmo de Frobenius.
    22.11.2023 (semana 16).
    Tomó notas durante la clase: Martín Carlos Alejandro Cigarroa Urrutia

13. Temas pendientes
  1. Aplicaciones de la unicidad de la factorización en la solución de ecuaciones Diofantinas (Secciones 4.8 y 4.9 del libro de Stewart-Tall).
  2. Factorización no única en campos ciclotómicos (Sección 5.4 del libro de Stewart-Tall).
  3. El teorema de los dos cuadrados via el teorema de Minkowski (Sección 7.2 del libro de Stewart-Tall)
  4. El teorema de los cuatro cuadrados via el teorema de Minkowski (Sección 7.3 del libro de Stewart-Tall)
  5. El teorema de los cuatro cuadrados via los cuaterniones (Sección ?? del libro de Samuel)
  6. Campos especiales
    Campos cuadráticos,
    campos cúbicos puros,
    campos bicuadráticos,
    campos ciclotómicos.
  7. La función de Artin para extensiones abelianas.
  8. Campos completos
    Preliminares,
    números p-ádicos,
    valuaciones y compleciones,
    valuaciones y compleciones,
    ramificación,
    el diferente,
    idèles y adèles.


Bibliografía:
  1. Daniel Bump. Algebraic Geometry. World Scientic, 1998.
  2. A. Fröhlich, M. J. Taylor. Algebraic Number Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 27, Cambridge University Press, 1991.
  3. Fernando Q. Gouvea. p-adic Numbers, segunda edición. Universitext, Springer Verlag, 1997.
  4. Gerald J. Janusz. Algebraic Number Fields, segunda edición. Graduate Studies in Mathematics 7, American Mathematical Society, 1996.
  5. William J. LeVeque. Elementary Theory of Numbers. Dover Publications, 1990.
  6. Ivan Niven, Herbert S. Zuckerman. Introducción a la Teoría de los Números. Editorial Limusa, 1985.
  7. Takashi Ono. An Introduction to Algebraic Number Theory. University series in Mathematics, Plenum Press, 1990.
  8. Harry Pollard, Harold G. Diamond. The Theory of Algebraic Numbers, tercera edición. Dover Publications, 1998.
  9. Pierre Samuel. Algebraic Theory of Numbers. Hermann, 1971.
  10. Ian Stewart, David Tall. Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem, tercera edición. A K Peters, 2002.
  11. Swinnerton-Dyer. A Brief Guide to Algebraic Number Theory. London Mathematical Society Student Texts 50, Cambridge University Press, 2001.

Universität zu Köln
Abteilung Mathematik
Hyperbolic Geometry
Sommersemester 2022

  • Semesterbeginn: 01.04.2022
    Vorlesungsbeginn: 04.04.2022
    Vorlesungsende: 15.07.2022
    Semesterende: 30.09.2022

  • Vorlesung: Hyperbolic Geometry (14722.0040)
    Mit: Prof. Dr. Daniel Labardini-Fragoso
    Wann: Mo.,Mi. 16-17.30
    Wo: Stefan Cohn-Vossen Raum Mathematik (Raum 313)
    Bereich: Geometrie und Topologie
    Belegungsmöglichkeiten:
    Mathematik: Bachelor, Master
    Wirtschaftsmathematik: Bachelor, Master
    E-mail: dlabardi@etc (etc:=uni-koeln.de)
    Lehrplan

    Übungen: Hyperbolic Geometry (14722.0041)
    Mit: Dr. Severin Barmeier
    Wann: Mo., 12-13.30
    Wo: Stefan Cohn-Vossen Raum Mathematik (Raum 313)
    Bereich: Geometrie und Topologie
    Belegungsmöglichkeiten:
    Mathematik: Bachelor, Master
    Wirtschaftsmathematik: Bachelor, Master

    Weg zu bewerten:
    Bitte lesen Sie die dritte Seite des Lehrplans.

Vorlesungsskripte und videos:

1. The Riemann Sphere
  1. The extended complex plane, the complex projective line, the unit sphere in R^3.
    04.04.2022 (week 1).
    Lecture notes: Before the lecture  After the lecture
    Video   Review

2. Möbius transformations
  1. Definition, explicit formula, standard examples.
    06.04.2022 (week 1).
    Lecture notes: Lecture notes (not modified during the lecture)
    Video Review
  2. Group structure of Möb(C), simple transitivity on triples of distinct points, circles go to circles, discs go to discs
    11.04.2022 (week 2).
    Lecture notes: Before the lecture   After the lecture
    Video   Review
  3. Simple transitivity through linear algebra, the cross ratio, explicit calculation of fixed points, commutativity and fixed points.
    13.04.2022 (week 2).
    Lecture notes: Before the lecture   After the lecture
    Video   Review
  4. Classification up to conjugation, Möbius transformations are conformal, the Steiner grid of a parabolic transformation.
    20.04.2022 (week 3).
    Lecture notes: Before the lecture   After the lecture
    Video   Review
  5. The Apollonius circles of a pair of distinct points, the Steiner grid of a non-parabolic transformation, the trace (the Möbius trace of a Möbius transformation detects the type --parabolic, elliptic, hyperbolic or loxodromic).
    25.04.2022 (week 4).
    Lecture notes: Before the lecture   After the lecture
    Video   Review
  6. SL_2(C) vs SL_2(R), SU_{1,1} vs SL_2(R):
    The elements of SL_2(R) are precisely the matrices in SL_2(C) whose associated Möbius transformations preserve the upper half plane bijectively, SL_2(R) and SU_{1,1} are conjugate subgroups of SL_2(C) via the Cayley transformation, the elements of SU_{1,1} are precisely the matrices in SL_2(C) whose associated Möbius transformations preserve the Poincaré disc bijectively, SU_{1,1} is diffeomorphic to a (non-compact) solid torus, a picture of SU_{1,1}.
    27.04.2022 (week 4).
    Lecture notes: Before the lecture   After the lecture
    Video Review
  7. SL_2(C) vs SL_2(R), SU_{1,1} vs SL_2(R):
    A picture of SU_{1,1}.
    02.05.2022 (week 5).
    Lecture notes
    Video
    Visualization of SU_{1,1} programmed by Javier Alejandro de Loera Chávez

3. Models and isometries of the hyperbolic plane
  1. The hyperboloid:
    Minkowski's form and the hyperboloid,
    The Lorentz and proper Lorentz groups,
    (the hyperboloid is a Riemannian manifold under Minkowski's form, explicit computation of tangent spaces at points of the hyperboloid in terms of Minkowski's orthogonality, definition of the Lorentz and proper Lorentz groups).
    04.05.2022 (week 5).
    Lecture notes: Before the lecture   After the lecture
    Video Review
  2. The hyperboloid:
    The orthochronous and restricted Lorentz groups are subgroups of Iso_Rie(M,g^M),
    from Minkowski's Hyperboloid to the Poincaré Disc and back.
    (the action of the restricted Lorentz group on the hyperboloid is transitive, the Lorentz group has exactly four connected components, the proper Lorentz group has exactly two connected components, the orthochronous Lorentz group has exactly two connected components, the restricted Lorentz group is the connected component of the identity in all of these groups, the orthochronous Lorentz group is contained in the group of Riemannian isometries of (M,g^M), the restricted Lorentz group is contained in the group of Riemannian isometries of (M,g^M) that preserve the orientation, stereographic projection between they hyperboloid and the disc, the hyperbolic metric on the Poincaré disc).
    09.05.2022 (week 6).
    Lecture notes: Before the lecture   After the lecture
    Video Review
  3. The hyperboloid:
    from Minkowski's Hyperboloid to the Poincaré Disc and back (continuation),
    shortest curves in the hyperboloid.
    The upper half plane.
    (computation of an explicit family of shortest curves on (M,g^M), between every two points of (M,g^M) there is a shortest curve, every shortest curve on (M,g^M) is contained in the intersection of M with a 2-dimensional real vector subspace of R^3).
    11.05.2022 (week 6).
    Lecture notes: Before the lecture   After the lecture
    Video
  4. The hyperboloid:
    shortest curves in the hyperboloid (conclusion).
    The upper half plane:
    the hyperbolic Riemannian metric on U,
    PSL_2(R) \subseteq Iso_{Rie}^+(U,g^U),
    shortest curves in (U,g^U).
    (theorem: every shortest curve on (M,g^M) is contained in the intersection of M with a 2-dimensional real vector subspace of R^3; definition: the hyperbolic Riemannian metric on U is defined by pulling the hyperbolic Riemannian metric of the Poincaré disc through the Cayley transformation; theorem: every Mobius transformation that bijectively preserves U is a Riemannian isometry of (U,g^U), theorem: the shortest curves on (U,g^U) are precisely the segments contained in U of the circles in CU{oo} that are orthogonal to RU{oo}).
    16.05.2022 (week 7).
    Lecture notes: Before the lecture   After the lecture
    Video Review
  5. The upper half plane:
    hyperbolic circles in U,
    the group of Riemannian isometries of (U,g^U).
    (theorem: cosh(d_U(w,z))=1+(|w-z|^2)/(2Im(w)Im(z)); theorem: the hyperbolic circles in U are precisely the Euclidean circles contained in U; theorem: the group of orientation-preserving Riemannian isometries of (U,g^U) is PSL_2(R)).
    18.05.2022 (week 7).
    Lecture notes: Before the lecture   After the lecture
    Video
  6. The upper half plane:
    the group of Riemannian isometries of (U,g^U) (conclusion),
    geometric behavior of the Riemannian isometries of (U,g^U).
    The Poincaré Disc:
    the group of Riemannian isometries of (D,g^D),
    geometric behavior of the Riemannian isometries of (D,g^D).
    (theorem: the full group of Riemannian isometries of (U,g^U) is PS^*L_2(R); theorem: PS^*L_2(R) is a non-trivial semidirect product of PSL_2(R) with {±1}; geometric behavior of the orientation-preserving Riemannian isometries of (U,g^U); theorem: the group of orientation-preserving Riemannian isometries of (D,g^D) is PSU_{1,1}; explicit formula for arbitrary Riemannian isometries of (D,g^D); theorem: the shortest curves in (D,g^D) are precisely the segments of circles in CU{oo} that are orthogonal to the Euclidean unit circle; theorem: the hyperbolic circles in (D,g^D) are precisely the circles in CU{oo} that are contained in D; geometric behavior of the orientation-preserving Riemannian isometries of (U,g^U) ).
    23.05.2022 (week 8).
    Lecture notes: Before the lecture   After the lecture
    Video Review
  7. Final remarks regarding the Riemannian isometry groups of the three models.
    The Beltrami-Klein Disc:
    brief remarks and useful features.
    25.05.2022 (week 8).
    Lecture notes: Before the lecture   After the lecture
    Video

4. Area and trigonometry
  1. Hyperbolic trigonometry:
    Angle of parallelism,
    the Cosine Laws.
    25.05.2022 (week 8).
    Lecture notes: Before the lecture   After the lecture
    Video
  2. Hyperbolic area:
    Definition and invariance under Riemannian isometries,
    hypebolic convexity,
    the formula of Gauss-Bonnet.
    01.06.2022 (week 9).
    Lecture notes: Before the lecture   After the lecture
    Video

5. Fuchsian groups
  1. Motivation: a Riemann surface structure for the torus.
    01.06.2022 (week 9).
    Lecture notes: Before the lecture   After the lecture
    Video
  2. Topological preliminaries:
    Some proper maps SL_2(R)->U and PSL_2(R)->U,
    Discrete sets.
    Fuchsian groups:
    Properly discontinuous actions on U vs. discrete subgroups of SL_2(R) and PSL_2(R)
    13.06.2022 (week 10).
    Lecture notes: Before the lecture   After the lecture
    Video
  3. Basic algebraic, topological and geometric properties:
    Abelian Fuchsian groups,
    Torsion-free Fuchsian groups and strong proper discontinuity,
    Elliptic fixed points,
    Stabilizers are always cyclic,
    Riemann surface structure of the orbit space H/Gamma.
    15.06.2022 (week 10).
    Lecture notes  
    Video  Review
  4. Fundamental domains:
    Definition and basic properties,
    Locally finite fundamental domains,
    20.06.2022 (week 11).
    Lecture notes: Before the lecture   After the lecture
    Video
  5. Fundamental domains:
    Locally finite fundamental domains (conclusion),
    The Dirichlet Polygon.
    22.06.2022 (week 11).
    Lecture notes: Before the lecture   After the lecture
    Video
  6. Fundamental Domains:
    The Dirichlet polygon,
    a fundamental domain for PSL_2(Z)
    27.06.2022 (week 12).
    Lecture notes: Before the lecture   After the lecture
    Video
  7. Fundamental Domains:
    Parabolic and elliptic cycles,
    Poincaré's polygon theorem.
    29.06.2022 (week 12).
    Lecture notes: After the lecture
    Video

6. Homotopy, fundamental groups and covering spaces
  1. Homotopy and the fundamental group.
    04.07.2022 (week 13).
    Lecture notes: Before the lecture   After the lecture
    Video
  2. Covering spaces and the fundamental group.
    06.07.2022 (week 13).
    Lecture notes: Before the lecture   After the lecture
    Video
  3. Covering spaces and the fundamental group (conclusion).
    11.07.2022 (week 14).
    Lecture notes: Before the lecture   After the lecture
    Video

7. Moduli spaces
  1. What is a moduli problem?
    The concept of fine moduli space.
    13.07.2022 (week 14).
    Lecture notes: Before the lecture   After the lecture
    Video

8. Curvature (this topic will not be included in the final examination)

If you want to have an idea of how the notion of curvature is defined for general Riemannian manifolds, and how one arrives at the conclusion that the hyperbolic plane has constant negative curvature, I highly recommend you to watch the following three presentations of Carlos Alberto Ochoa Flores:
  1. Affine connections.
    (definition of the notion of affine connection on a differentiable manifold; theorem: every affine connection induces a parallel-transport isomorphism between the tangent spaces at the endpoins of any smooth curve on the smooth manifold).
    Carlos Alberto Ochoa Flores' notes   Video
  2. The connection of Levi-Civita.
    (definition of the compatibility of a connection with a Riemannian metric, definition of the notion 'torsion-free connection', theorem: every connected Riemannian manifold admits exactly one compatible torsion-free connection).
    Carlos Alberto Ochoa Flores' notes   Video
  3. The curvature tensor, sectional curvature and the curvature of the hyperbolic plane.
    Carlos Alberto Ochoa Flores' notes   Video

  • Externe videos und links:
  • Möbius transformations revealed
  • Illuminating hyperbolic geometry
  • Trigonometry of the hyperbola
  • The Poincaré model from hyperboloid stereographic projection (moving point) (rotating)
  • Hyperboloid Plane Intersection
  • Semidirect products of groups (the lecture notes are here)
  • Very useful entry by Chris Jerdonek on the isometries of the Poincaré Disc model of the hyperbolic plane

    • Literatur:
    1. James Anderson. Hyperbolic geometry. Springer-Verlag. Springer Undergraduate Mathematics Series. 2007. pdf
    2. Alan F. Beardon. The Geometry of Discrete Groups. Springer-Verlag, Graduate Texts in Mathematics 91. 1983. pdf
    3. David B. Ben-Zvi. Moduli Spaces. The Princeton Companion to Mathematics (T. Gowers, J. Barrow- Green & I. Leader, (Eds.)), 408--420. Princeton University Press, 2008. pdf
    4. James W. Cannon, William J. Floyd, Richard Kenyon, Walter R. Parry. Hyperbolic Geometry. Flavors of Geometry (edited by Silvio Levy). Cambridge University Press, MSRI Publications, Volume 31. 1997. pdf http://library.msri.org/books/Book31/files/cannon.pdf
    5. Henri Paul de Saint-Gervais. Uniformization of Riemann surfaces, Revisiting a hundred-year-old theorem. European Mathematical Society, Heritage of European Mathematics. 2016. pdf
    6. Sergey Fomin, Michael Shapiro, Dylan Thurston. Cluster algebras and triangulated surfaces. Part I: Cluster complexes. Acta Math. 201 (2008), no. 1, 83-146. arXiv:math/0608367 pdf
    7. Sergey Fomin, Dylan Thurston. Cluster algebras and triangulated surfaces Part II: Lambda lengths. Mem. Amer. Math. Soc. 255 (2018), no. 1223, v+97 pp. arXiv:1210.5569 pdf
    8. Otto Forster. Lectures on Riemann Surfaces. Graduate Texts in Mathematics 81. Springer-Verlag, 1981. pdf
    9. Allen Hatcher. Algebraic Topology. 2001. pdf
    10. Gareth A. Jones, David Singerman. Complex functions. An algebraic and geometric viewpoint. Cambridge University Press, 1987. pdf
    11. Svetlana Katok. Fuchsian groups. Chicago lectures in Mathematics, University of Chicago Press, 1992.
    12. Robert Penner. Lambda lengths. http://www.ctqm.au.dk/research/MCS/lambdalengths.pdf
    13. Robert Penner. Decorated Teichmüller Theory. European Mathematical Society, the QGM Master Class Series. 2012. DOI 10.4171/075 pdf
    14. John Stillwell. Geometry of surfaces. Springer Science+Business Media, LLC. Universitext. 1992. pdf
    15. P.M.H. Wilson. Curves paces, from Classical Geometries to Elementary Differential Geometry. Cambridge University Press. 2008. pdf

UNAM
Posgrado en Matemáticas
Álgebra Moderna
Semestre 2022-1

  • Profesor: Dr. Daniel Labardini Fragoso
    Correo electrónico: labardini@etc donde etc=im.unam.mx o etc=matem.unam.mx
    Plataformas: YouTube y Zoom
    Horario:
    Lu (YT), Ma (YT), Mi (YT), Ju (YT), Vi (Zoom, 12:00 - 13:30 hrs).
    Temario oficial
    Evaluación:
    Examen final: 45 %
    Participación: 45 %
    Asistencia: 10 %
    Inicio de clases: Lunes 9 de agosto de 2021
    Último día de clases: Viernes 26 de noviembre de 2021
    Examen final: Del 29 de noviembre al 10 de diciembre de 2021
    Calendario escolar

Notas y videos de clase:
Estas notas, que escribí para un mini-curso que impartí en una EMALCA en Arica, Chile, en 2016, contienen un breve panorama de algunos de los temas de teoría de grupos que cubriré en el curso.

Primera parte: Teoría de grupos

  1. Definición, ejemplos y propiedades básicas.
    Semana 1. Notas Video Repaso
  2. Subgrupos.
    Semana 1. Notas Video Repaso
  3. Subgrupo generado por un subconjunto.
    Semana 1. Notas Video Repaso
  4. Grupos cíclicos.
    Semana 1. Notas Video Repaso
  5. Clases laterales izquierdas y derechas.
    Semana 2. Notas Video Repaso
  6. Subgrupos normales.
    Semana 2. Notas Video Repaso
  7. Homomorfismos de grupos.
    Semana 2. Notas Video Repaso
  8. Acciones de grupos en conjuntos.
    Semana 3. Notas Video Repaso
    Aplicación: epimorfismos de grupos son siempre suprayectivos. (Notas y exposición de Diego Aldana).
  9. Teoremas de Cauchy y Sylow.
    Semana 3. Notas Video Repaso
  10. El grupo simétrico.
    Semana 4. Notas Video
  11. El grupo alternante.
    Semana 4. Notas Video
  12. Productos semidirectos.
    Semana 5. Notas Video
  13. Grupos libres, presentaciones, productos libres y productos amalgamados.
    Semana 5. Notas Video
  14. Series de composición, grupos solubles y nilpotentes.
    Semana 6. Notas Video completo
    Video 1/3 Video 2/3 Video 3/3
  15. Grupos abelianos.
    Semana 6. Notas Video completo
    Video 1/4 Video 2/4 Video 3/4 Video 4/4
  16. Discusión de problemas de exámenes generales pasados.
    Semana 7.

Segunda parte: Teoría de anillos

  1. Anillos, ideales y homomorfismos.
    Semana 8. Notas Video completo
    Video 1/3 Video 2/3 Video 3/3
  2. Localización.
    Semana 8. Notas Video
  3. Anillos de polinomios.
    Semana 8. Notas Video
  4. Dominios Euclidianos, dominios de ideales principales y dominios de factorización única.
    Semana 9. Notas Video
  5. Ideales y teoría de factorización de un anillo de polinomios.
    Semana 9. Notas Video
  6. Módulos finitamente generados sobre DIPs.
    Semana 9. Notas Video
  7. Discusión de problemas de exámenes generales pasados.
    Semana 10.

Tercera parte: Teoría de campos

  1. Extensiones de campos.
    Semana 11. Notas Video
  2. Elementos algebraicos y extensiones algebraicas.
    Semana 11. Notas Video
  3. Extensiones normales.
    Semana 11. Notas Video completo
    Video 1/4 Video 2/4 Video 3/4 Video 4/4
  4. Extensiones separables.
    Semana 12. Notas Video completo
    Video 1/5 Video 2/5 Video 3/5 Video 4/5 Video 5/5
  5. Extensiones totalmente inseparables.
    Semana 12. Notas Video
  6. Extensiones trascendentes.
    Semana 13. Notas Video
  7. Problemas de la antigüedad.
    Semana 13. Notas Video
  8. Campos finitos.
    Semana 13. Notas Video

Cuarta parte: Teoría de Galois

  1. Extensiones de Galois.
    Semana 14. Notas Video
  2. El teorema fundamental de la teoría de Galois.
    Semana 14. Notas Video
  3. El teorema fundamental del álgebra.
    Semana 14. Notas Video
  4. Insolubilidad de la ecuación general de quinto grado.
    Semana 14. Notas Video
  5. Discusión de problemas de exámenes generales pasados.
    Semana 15.

Quinta parte: Temas selectos (no sujetos a evaluación)

  1. El Teorema de Sturm.
    Semana 16. Notas Video
  2. Teoría de números algebraicos.
    Semana 16. Notas Video
  3. DIPS que no son DEUs, anillos de enteros algebraicos que no son DFUs.
    Semana 16. Notas Video
  4. Algunas ecuaciones Diofantinas.
    Semana 16. Notas Video
  5. Números p-adicos.
    Semana 16. Notas Video
  6. Criptografía.
    Semana 16. Notas Video
  7. Campos de funciones meromorfas.
    Semana 16. Notas Video
  8. Teoría de categorías.
    Semana 16. Notas Video
  9. Álgebra Homológica.
    Semana 16. Notas Video
  10. Productos tensoriales.
    Semana 16. Notas Video
  11. Topología Algebraica.
    Semana 16. Notas Video
  12. Teoría de representaciones de grupos finitos.
    Semana 16. Notas Video
  13. Teoría de representaciones de álgebras.
    Semana 16. Notas Video
  14. Combinatoria Algebraica.
    Semana 16. Notas Video
  15. Geometría Algebraica y Álgebra Conmutativa.
    Semana 16. Notas Video
  16. Algebras de Lie, grupos de Lie y grupos algebraicos.
    Semana 16. Notas Video

UNAM
Posgrado en Matemáticas
Curso Avanzado de Geometría (9 créditos)
Geometría Hiperbólica
Semestre 2021-2

  • Profesor: Dr. Daniel Labardini Fragoso
    Plataforma: YouTube y Zoom
    Horario: Lu (YT), Ma (YT), Mi (YT), Ju (Zoom, 12:00 - 14:00 hrs).
    Temario.
    Evaluación:
    Examen final: 30 %
    Examinaciones de los jueves: 30 %
    Exposición: 30 %
    Asistencia: 10 %
    Inicio de clases: Lunes 15 de febrero de 2021
    Último día de clases: Viernes 11 de junio de 2021
    Examen final: Del 14 al 18 de junio de 2021
    Calendario escolar

    • La impartición del curso ha sido aprobada de manera oficial por la Oficina del Posgrado en Ciencias Matemáticas de la UNAM.

Notas y videos de clase:
Este archivo contiene todas las notas que he escrito hasta el momento. Incluye todas las clases hasta el miércoles 10 de marzo de 2021.
  1. Lunes 15 de febrero de 2021:
    La esfera de Riemann:
    El plano complejo extendido, la línea projectiva compleja, la esfera unitaria en R^3.
    Notas Video
  2. Martes 16 de febrero de 2021:
    Transformaciones de Möbius:
    Definición de transformaciones de Möbius de P^1(C), fórmula explícita con respecto a una base arbitraria de C^2, definición de transformaciones de Möbius del plano complejo extendido, análisis del comportamiento geométrico de los ejemplos estándar (traslaciones, homotecias, rotaciones y loxodromías).
    Notas Video
  3. Miércoles 17 de febrero de 2021:
    Transformaciones de Möbius:
    Estructura de grupo de Möb^+(CU{oo}), transitividad simple en ternas de puntos distintos, círculos van a círculos y discos van a discos.
    Notas Video
  4. Lunes 22 de febrero de 2021:
    Transformaciones de Möbius:
    Puntos fijos (cálculo explícito de ellos en términos de las entradas de la matriz) y clasificación por conjugación (toda transformación de Möbius es conjugada a un ejemplo estándar, separación de los ejemplos estándar), definición de las nociones de transformación de Möbius proyectiva, hiperbólica, elíptica y loxodrómica.
    Notas Video
  5. Martes 23 de febrero de 2021:
    Transformaciones de Möbius:
    Redes de Steiner.
    Notas Video
  6. Miércoles 24 de febrero de 2021:
    Transformaciones de Möbius:
    La traza, PSL_2(C) vs. PSL_2(R).
    Notas Video
  7. Lunes 1 de marzo de 2021:
    Transformaciones de Möbius:
    SU_{1,1}.
    Notas Video
  8. Martes 2 de marzo de 2021:
    Transformaciones de Möbius:
    Un dibujo de SU_{1,1} y SL_2(R).
    Visualización programada por Javier Alejandro de Loera Chávez.
    Notas Video
  9. Miércoles 3 de marzo de 2021:
    Modelos e isometrías del plano hiperbólico:
    El hiperboloide M es una variedad Riemanniana bajo la forma de Minkowski.
    Notas Video
  10. Lunes 8 de marzo de 2021:
    Modelos e isometrías del plano hiperbólico:
    El grupo ortócrono de Lorentz y el grupo restringido de Lorentz son subgrupos del grupo de isometrías Riemannianas del hiperboloide M.
    Notas Video
  11. Martes 9 de marzo de 2021:
    Modelos e isometrías del plano hiperbólico:
    Trigonometría de la hipérbola (definición del coseno hiperbólico y del seno hiperbólico en términos de la hipérbola y la forma de Minkowski, teorema: cosh(b)=(e^b+e^(-b))/2 y senh(b)=(e^b-e^(-b))/2).
    Notas Video
  12. Miércoles 10 de marzo de 2021:
    Modelos e isometrías del plano hiperbólico:
    De vuelta al hiperboloide (cálculo explícito de una familia de curvas más cortas).
    Notas Video
  13. Lunes 15 de marzo de 2021:
    Modelos e isometrías del plano hiperbólico:
    De vuelta al hiperboloide (teorema: para cualesquiera dos puntos del hiperboloide existe una curva más corta que los conecta, teorema: toda curva más corta está contenida en un subespacio vectorial bidimensional de R^3).
    Notas Video
  14. Martes 16 de marzo de 2021:
    Modelos e isometrías del plano hiperbólico:
    El semiplano superior (se define la métrica Riemanniana hiperbólica de U como aquélla que resulta de jalar la métrica Riemanniana hiperbólica de D a través de la transformación de Cayley, teorema: toda transformación de Möbius \nu tal que \nu(U)=U es isometría Riemanniana, teorema: las curvas más cortas de U son precisamente los segmentos de círculos en CU{oo} ortogonales a RU{oo} conenidos en U).
    Notas Video
  15. Miércoles 17 de marzo de 2021:
    Modelos e isometrías del plano hiperbólico:
    El semiplano superior (teorema: cosh(d_U(w,z))=1+(|w-z|^2)/(2Im(w)Im(z)), teorema: los círculos hiperbólicos son precisamente los círculos Euclidianos contenidos en U).
    Notas Video
  16. Lunes 22 de marzo de 2021:
    Modelos e isometrías del plano hiperbólico:
    El semiplano superior (teorema: expresión explícita para isometrías Riemannianas arbitrarias de U, corolario: las isometrías Riemannianas de U que preservan la orientación son precisamente los elementos de PSL_2(R)).
    Notas Video
  17. Martes 23 de marzo de 2021:
    Modelos e isometrías del plano hiperbólico:
    Productos semidirectos (definición de producto semidirecto de grupos, criterio de suficiencia para que el término medio de una sucesión exacta corta de grupos sea el producto semidirecto de los extremos de la sucesión; teorema: S*L_2(R) es el producto semidirecto de SL_2(R) y {1,-1}; teorema: PS*L_2(R) es el producto semidirecto de PSL_2(R) y {1,-1}; corolario: Iso_R(U) es el producto semidirecto de Iso^+_R(U) y {1,-1}).
    Notas Video
  18. Miércoles 24 de marzo de 2021:
    Modelos e isometrías del plano hiperbólico:
    De vuelta al semiplano superior (análisis básico del comportamiento geométrico de las isometrías de U que preservan la orientación; el punto fijo de una parabólica pertenece a RU{oo}, los puntos fijos de una hiperbólica pertenecen a RU{oo}, los puntos fijos de una elíptica son números complejos conjugados).
    Notas Video
  19. Lunes 5 de abril de 2021:
    Modelos e isometrías del plano hiperbólico:
    El disco de Poincaré (descripción explícita de todas las isometrías, las curvas más cortas son los segmentos contenidos en la intersección de D con los círculos en CU{oo} ortogonales al círculo unitario, los círculos hiperbólicos son precisamente los círculos de C contenidos en D, descripción del comportamiento geométrico de las isometrías que preservan la orientación, teorema: SO^M_{2,1} (resp. O^M_{2,1}) coincide con el grupo de isometrías del hiperboloide que preservan la orientación (resp. todo el grupo de isometrías de M)).
    Notas Video
  20. Martes 6 de abril de 2021:
    Área y trigonometría:
    Área hiperbólica y la fórmula de Gauss-Bonnet (definición de área hiperbólica, teorema: el área hiperbólica de un triángulo hiperbólico es \pi menos la suma de los ángulos internos del triángulo).
    Notas Video
  21. Lunes 12 de abril de 2021:
    Área y trigonometría:
    Trigonometría hiperbólica (ángulo de paralelismo, leyes de los cosenos, corolario: cualesquiera dos triángulos similares son congruentes en un sentido fuerte).
    Notas Video
  22. Martes 13 de abril de 2021:
    Grupos Fuchsianos:
    Preliminares topológicos.
    Notas Video
  23. Miércoles 14 de abril de 2021:
    Grupos Fuchsianos:
    Subgrupos discretos de PSL_2(R) mediante su acción en U.
    Notas Video
  24. Lunes 19 de abril de 2021:
    Grupos Fuchsianos:
    Subgrupos discretos de PSL_2(R) mediante su acción en U (teorema: un subgrupo de PSL_2(R) es Fuchsiano si y sólo si su acción en U es propiamente discontinua).
    Notas Video
  25. Martes 20 de abril de 2021:
    Grupos Fuchsianos:
    Propiedades algebraicas básicas (teorema: dos elementos de PSL_2(R) distintos de la identidad conmutan si y sólo si tienen exactamente los mismos puntos fijos en la cerradura topológica de U en CU{oo}, teorema: todo subgrupo abeliano discreto de PSL_2(R) es cíclico, corolario: ningún subgrupo discreto de PSL_2(R) es isomorfo a Z\oplus Z).
    Notas Video
  26. Lunes 26 de abril de 2021:
    Dominios fundamentales:
    Definición y propiedades básicas.
    Notas Video
  27. Lunes 3 de mayo de 2021:
    Dominios fundamentales:
    Definición y propiedades básicas (teorema: Supongamos que D es un dominio fundamental para el grupo Fuchsiano \Gamma, y denotemos por E la cerradura topológica de D en el plano hiperbólico H. La función E/\Gamma -> H/\Gamma inducida por la inclusión de E en H es un homeomorfismo si y sólo si D es un dominio fundamental localmente finito).
    Notas Video
  28. Lunes 10 de mayo de 2021:
    Dominios fundamentales:
    Definición y propiedades básicas (teorema: la cerradura topológica en H de un conjunto h-convexo es h-convexo; teorema: todo subgrupo discreto de SL_2(R) es finito o numerable, también lo es todo subgrupo discreto de PSL_2(R); teorema: si D es un dominio fundamental localmente finito para un grupo Fuchsiano \Gamma, entonces {g \in \Gamma | g(E) \cap E \neq \varnothing} genera a \Gamma como grupo, donde E es la cerradura topológica de D en H).
    Notas Video
  29. Martes 11 de mayo de 2021:
    Dominios fundamentales:
    Definición y propiedades básicas (teorema: si \Gamma es un grupo Fuchsiano y z es un punto en la cerradura topológica del semiplano superior en CU{oo}, entonces el estabilizador de z en \Gamma es cíclico, lema: si G es un subgrupo discreto de SL_2(R) que tiene un elemento parabólico que fija oo, entonces las entradas "suroeste" de los elementos de G forman un conjunto de números reales que no se acumula en 0).
    Notas Video
  30. Lunes 17 de mayo de 2021:
    Dominios fundamentales:
    Definición y propiedades básicas (teorema: supongamos que \Gamma es un grupo Fuchsiano y D es un dominio fundamental localmente finito para \Gamma; para cada elemento no neutro de \Gamma exhibimos una familia de conjuntos no necesariamente compactos, con la propiedad de que sólo un número finito de \Gamma-imágenes de cualquier miembro dado K de la familia tiene intersección no vacía con D; corolario: si \Gamma es Fuchsiano y D es localmente finito, entonces todo punto fijo de algún elemento parabólico de \Gamma tiene un \Gamma-representante en la cerradura topológica Euclidiana de D).
    Notas Video
  31. Martes 18 de mayo de 2021:
    Dominios fundamentales:
    Dominios fundamentales convexos (estudiamos algunas propiedades geométricas y topológicas básicas de dominios fundamentales localmente finitos que poseen la propiedad adicional de convexidad hiperbólica).
    Notas Video
  32. Martes 25 de mayo de 2021:
    Curvatura (exposición de Carlos Alberto Ochoa Flores):
    Conexiones afines (definición de la noción de conexión afín en una variedad diferenciable, teorema: toda conexión afín induce un isomorfismo de transporte paralelo entre los espacios tangentes de los puntos extremos de cualquier curva suave en la superficie).
    Notas Video
  33. Miércoles 26 de mayo de 2021:
    Curvatura (exposición de Carlos Alberto Ochoa Flores):
    La conexión de Levi-Civita (definición de compatibilidad de una conexión con una métrica Riemanniana, definición de conexión libre de torsión, teorema: cada variedad Riemanniana admite exactamente una conexión compatible libre de torsión).
    Notas Video
  34. Jueves 27 de mayo de 2021:
    Curvatura (exposición de Carlos Alberto Ochoa Flores):
    El tensor de curvatura, curvatura seccional y la curvatura del plano hiperbólico.
    Notas Video
  35. Lunes 31 de mayo de 2021:
    Dominios fundamentales:
    Dominios fundamentales convexos (establecemos algunas propiedades de las transformaciones en el grupo Fuchsiano \Gamma que aparean lados del dominio fundamental convexo localmente finito P).
    Notas Video
  36. Miércoles 2 de junio de 2021:
    Dominios fundamentales:
    Dominios fundamentales convexos (definimos las nociones de lado libre, vértice propio al infinito y vértice impropio al infinito de un dominio fundamental localmente finito hiperbólicamente convexo P; teorema: si v es un punto al infinito en la cerradura topológica Euclidiana de P que tiene estabilizador no trivial en \Gamma, entonces su estabilizador es un subgrupo parabólico maximal de \Gamma y v es un vértice propio de P).
    Notas Video
  37. Martes 8 de junio de 2021:
    Dominios fundamentales:
    El polígono de Dirichlet (definimos el polígono de Dirichlet de un grupo Fuchsiano con respecto a un punto con estabilizador trivial; teorema: el polígono de Dirichlet es un dominio fundamental localmente finito hiperbólicamente convexo; ejemplo: un polígono de Dirichlet para PSL_2(Z)).
    Notas Video
  38. Miércoles 9 de junio de 2021:
    Dominios fundamentales:
    El teorema del polígono de Poincaré.
    Notas Video
  39. Lunes 21 de junio de 2021:
    Grupo fundamental y espacios cubrientes:
    El grupo fundamental.
    Notas Video
  40. Jueves 24 de junio de 2021:
    Grupo fundamental y espacios cubrientes:
    Espacios cubrientes.
    Notas Video
    Bibliografía:
    1. James Anderson. Hyperbolic geometry. Springer-Verlag. Springer Undergraduate Mathematics Series. 2007.
    2. Alan F. Beardon. The Geometry of Discrete Groups. Springer-Verlag, Graduate Texts in Mathematics 91. 1983.
    3. David B. Ben-Zvi. Moduli Spaces. The Princeton Companion to Mathematics (T. Gowers, J. Barrow- Green & I. Leader, (Eds.)), 408?420. Princeton University Press, 2008.
    4. James W. Cannon, William J. Floyd, Richard Kenyon, Walter R. Parry. Hyperbolic Geometry. Flavors of Geometry (edited by Silvio Levy). Cambridge University Press, MSRI Publications, Volume 31. 1997. http://library.msri.org/books/Book31/files/cannon.pdf
    5. Theodore W. Gamelin. Complex Analysis. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag. 2001.
    6. Henri Paul de Saint-Gervais. Uniformization of Riemann surfaces, Revisiting a hundred-year-old theorem. European Mathematical Society, Heritage of European Mathematics. 2016.
    7. Sergey Fomin, Michael Shapiro, Dylan Thurston. Cluster algebras and triangulated surfaces. Part I: Cluster complexes. Acta Math. 201 (2008), no. 1, 83?146. arXiv:math/0608367
    8. Sergey Fomin, Dylan Thurston. Cluster algebras and triangulated surfaces Part II: Lambda lengths. Mem. Amer. Math. Soc. 255 (2018), no. 1223, v+97 pp. arXiv:1210.5569
    9. Sergey Fomin, Andrei Zelevinsky. Cluster algebras I: Foundations. J. Amer. Math. Soc. 15 (2002), no. 2, 497?529.
    10. Sergey Fomin, Andrei Zelevinsky. Cluster algebras II: Finite type classification. Invent. Math. 154 (2003), 63?121. math.RA/0208229
    11. Otto Forster. Lectures on Riemann Surfaces. Graduate Texts in Mathematics 81. Springer-Verlag, 1981.
    12. Gareth A. Jones, David Singerman. Complex functions. An algebraic and geometric viewpoint. Cambridge University Press, 1987.
    13. Svetlana Katok. Fuchsian groups. Chicago lectures in Mathematics, University of Chicago Press, 1992.
    14. Svetlana Katok. Fuchsian groups, geodesic flows on surfaces of constant negative curvature and symbolic coding of geodesics. http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.416.7918& rep=rep1&type=pdf
    15. Robert Penner. Lambda lengths. http://www.ctqm.au.dk/research/MCS/lambdalengths.pdf
    16. Robert Penner. Decorated Teichmüller Theory. European Mathematical Society, the QGM Master Class Series. 2012. DOI 10.4171/075
    17. Carlos Prieto. Topología básica. Fondo de Cultura Económica. 2013 (2a. ed.).
    18. John Stillwell. Geometry of surfaces. Springer Science+Business Media, LLC. Universitext. 1992.