Scopo del corso è dare un’ introduzione ad alcuni argomenti della teoria delle equazioni a derivate parziali. Il corso è indirizzato a studenti del quarto anno del corso di studi in matematica, che abbiano seguito i corsi obbligatori di Analisi Matematica, meglio se con almeno un modulo di Istituzioni di Analisi. Verranno toccate varie tipologie di problemi.

Si studieranno equazioni alle derivate parziali del primo ordine, introducendo il problema delle curve caratteristiche. Successivamente si tratteranno le equazioni di Hamilton-Jacobi, e di queste in particolare si studierà la formula di Hopf-Lax e le soluzioni di viscosità, dimostrando teoremi di esistenza e unicità.

Nella seconda parte del corso si affronterà lo studio delle leggi di conservazione in una variabile spaziale. Una volta illustrato il fenomeno della catastrofe del gradiente, si introdurranno le nozioni di soluzione debole e soluzione entropicamente ammissibile. Si procederà poi alla determinazione della soluzione di un problema di Riemann e alla costruzione della soluzione di un problema di Cauchy con il metodo di wave front tracking.

Materiale didattico

Note introduttive alle leggi di conservazione
Teorema di unicità per soluzioni entropiche alla Oleinik