Corso di Analisi Stocastica

Corso di Laurea Specialistica in Matematica
Facoltà di Scienze MM. FF. NN.
Università di Padova

Docente: Tiziano Vargiolu

Programma del corso:

Preliminari di Calcolo delle Probabilità
Richiami su spazi probabilizzati e variabili aleatorie. Legge di una variabile aleatoria e calcolo di speranze. Vettori aleatori d-dimensionali: speranza, matrice delle covarianze, funzione caratteristica. Convergenze di variabili aleatorie. Variabili aleatorie normali multivariate.

Esercizi n. 1: testo (file PDF), soluzione (file PDF)
Processi stocastici
Definizioni di processo stocastico e filtrazione, processo adattato e filtrazione naturale; traiettorie di un processo; processi continui, continui a destra (a sinistra), progressivamente misurabili, processi standard. Teorema di continuità di Kolmogorov. Tempi di arresto: definizioni e proprietà. Costruzione di processi stocastici con leggi marginali assegnate: condizione di coerenza e teorema di esistenza di Kolmogorov.

Esercizi n. 3: testo (file PDF), soluzione (file PDF)
Moto browniano
Definizione e caratterizzazioni. Regolarità delle traiettorie e comportamento asintotico. Variazione totale e variazione quadratica. Moto browniano multidimensionale.
Legge e speranza condizionale
Definizione e proprietà della speranza condizionale. Definizione di legge condizionale e legami con la speranza condizionale. Applicazioni al moto browniano.

Esercizi n. 4: testo (file PDF), soluzione (file PDF)
Martingale
Definizione e proprietà. Martingale a tempo discreto: disuguaglianze massimali e di Doob, teorema di arresto, decomposizione di Doob-Meyer. Martingale a tempo continuo: disuguaglianze massimali e di Doob, teorema di arresto, decomposizione di Doob-Meyer e variazione quadratica.

Esercizi n. 5: testo (file PDF), soluzione (file PDF)
Integrale stocastico
Integrale stocastico di processi elementari. Definizione delle classi di processi M^p[a,b] e Λ^p[a,b] ed approssimazione con processi continui ed elementari. Integrale stocastico di processi M^p[a,b] e Λ^p[a,b]: definizione e proprietà. Dipendenza dall'estremo di integrazione e proprietà di martingala. Integrale stocastico di funzioni deterministiche.

Esercizi n. 6: testo (file PDF), soluzione (file PDF)
Calcolo stocastico
Differenziale stocastico. Formula di Itô. Integrale stocastico multidimensionale. Formula di Itô multidimensionale. Teorema di Girsanov. Teorema di rappresentazione delle martingale.

Esercizi n. 7: testo (file PDF), soluzione (file PDF)
Equazioni differenziali stocastiche
Definizioni di soluzione forte e soluzione debole e di unicità in legge e per traiettorie. Teorema di esistenza e unicità. Dipendenza continua dal dato iniziale e stime in L^p. Proprietà di Markov.

Esercizi n. 8: testo (file PDF), soluzione (file PDF)
Applicazioni a problemi alle derivate parziali
Equazione di Kolmogorov all'indietro. Formula di Feynman-Kac. Inversione del tempo. Problemi con condizioni al bordo.