Corso di Calcolo delle Probabilità

Corso di Laurea in Matematica
Facoltà di Scienze MM. FF. NN.
Università di Padova

Docente: Tiziano Vargiolu

• Teoria della misura e probabilità
  Richiami sugli spazi probabilizzati e sulle misure di probabilit\`a. Definizione di sistema di generatori e di base di una $\sigma$-algebra. Criterio di unicit\`a di due misure basato su una base. Spazi prodotto, $\sigma$-algebre prodotto e misure prodotto. Tribù boreliane di $\R$ e di $\R^n$. Funzioni misurabili e variabili aleatorie. Criterio fondamentale di misurabilit\`a e applicazioni.

• Speranza matematica e integrazione Funzioni misurabili e variabili aleatorie e approssimazione con variabili aleatorie semplici. Speranza di una variabile aleatoria e legame con l'integrale. Spazio L^1. Teoremi di limite. Speranza condizionale e sue proprietà.
  Esercizi n. 1: testo (file PDF), testo e soluzione (file PDF),

  Spazi $L^p$, disuguaglianze di Jensen, Cauchy-Schwartz, Markov e Chebichev. Varianza e covarianza. Misura definita da una densità. Integrazione rispetto a una misura immagine e speranza di una funzione composta. Applicazioni a variabili aleatorie discrete ed assolutamente continue (rispetto alla misura di Lebesgue). Vettori aleatori: densità congiunta e marginali. Misure di Borel sulla retta reale.

  Esercizi n. 2: testo (file PDF), testo e soluzione (file PDF),

• Indipendenza
  Criterio di indipendenza fondati su due basi. Simmetria dell'indipendenza. Indipendenza di eventi e tribù. Indipendenza di una famiglia di variabili aleatorie e indipendenza a due a due. Principio della composizione. Speranza di un prodotto di variabili aleatorie indipendenti.

• Vettori aleatori
  Definizione: densità congiunta e densità marginali. Vettori aleatori con componenti indipendenti. Composizione di vettori aleatori con diffeomorfismi. Esempi: vettori aleatori uniformi.
  Esercizi n. 3: testo (file PDF), testo e soluzione (file PDF)
• Leggi condizionali
  Definizione di legge condizionale. Esistenza e unicità della legge condizionale. Proprietà della legge condizionale; concetto di mistura. Legge condizionale in presenza di una densità congiunta. Legge condizionale rispetto a una variabile aleatoria discreta. Legge condizionale e indipendenza. Schema di Bayes.
  Esercizi n. 4: testo (file PDF), testo e soluzione (file PDF)
  Legge condizionale di una funzione composta. Formula di convoluzione. Formula della disintegrazione e identità di Wald.

• Speranza condizionale
  Speranza condizionale: costruzione generale per una variabile aleatoria in $L^1$. Legami tra leggi condizionali e speranza condizionale.

• Funzione caratteristica
  Integrale di una funzione complessa e speranza di una variabile aleatoria complessa. Funzione caratteristica di una variabile aleatoria e di una legge. Iniettività della funzione caratteristica. Derivabilità di una funzione caratteristica. Funzione caratteristica di una somma di variabili aleatorie indipendenti
  Esercizi n. 5: testo (file PDF), testo e soluzione (file PDF)

  Formula di inversione per le funzioni caratteristiche.

• Convergenze
  Definizione di convergenza debole di leggi. Definizione di convergenza in legge, in probabilità, quasi certa e in $L^p$ di variabili aleatorie. Criteri equivalenti di convergenza debole. Implicazioni tra convergenze. Teorema di Paul Levy.
  Esercizi n. 6: testo (file PDF), testo e soluzione (file PDF)
  Convergenza debole di leggi concentrate sugli interi.

• Teoremi di limite
  Legge dei grandi numeri per variabili aleatorie non correlate. Legge dei grandi numeri per variabili aleatorie indipendenti e isonome. Teorema limite centrale di Lindeberg-Levy. Approssimazione normale. Altri possibili comportamenti asintotici.
  Esercizi n. 7: testo (file PDF), testo e soluzione (file PDF)

• Complementi sui vettori aleatori
  Vettore delle medie e matrice delle covarianze: proprietà di simmetria e di semidefinizione positiva. Funzione caratteristica di vettori aleatori e sue proprietà.
  Esercizi n. 8: testo (file PDF), testo e soluzione (file PDF)

• Processi stocastici
  Definizioni di processo stocastico, filtrazione, tempo di arresto. Esempi: processo di Bernoulli, processo di Poisson.
• Martingale
  Definizione di (super-)(sub-)martingala. Alcune proprietà delle martingale. Teoremi di arresto e di convergenza.
  Esercizi n. 9: testo (file PDF), testo e soluzione (file PDF)

• Catene di Markov
  Definizione di nucleo di transizione e di catena di Markov. Classificazione degli stati e misure invarianti.
  Esercizi n. 10: testo (file PDF), testo e soluzione (file PDF)

• T. Vargiolu, Calcolo delle Probabilità, novità 2011
  
  • 1.a parte, file PDF
  • 2.a parte, file PDF
  • 3.a parte, file PDF
• F. Caravenna,
  files PDF

Libro di testo:

• G. Letta, Probabilità elementare, Zanichelli, 1994
• A. Klenke, Probability theory, Springer, 2008

Altro materiale utile:

• N. Cufaro Petroni, Lezioni di Calcolo delle Probabilità, Edizioni dal Sud, 1996
• N. Shiryaev, Probability, 2a edizione, Springer, 1996
• T. Vargiolu, Teoria della misura, CLEUP, 2000
  files PDF (347k), LaTeX (130k), DVI (214k) e PostScript (502k)

• Il "bonus" si consegue risolvendo alla lavagna, durante l'anno, un esercizio di quelli assegnati per casa. Il "bonus" è anche equivalente ad un orale "per conferma" (vedi dopo), ma solo nei due appelli della sessione regolare.
• Lo scritto è uno dei 5 appelli (2 nella sessione regolare e 3 in quelle di recupero), e nelle sessioni regolari può essere aumentato fino a 3 punti dal "bonus". Si possono provare tutti gli appelli; tuttavia, se si consegna viene automaticamente annullato ogni risultato precedente.
• L'orale può essere di due tipi:
  1. per confermare il voto dello scritto (facile): generalmente della durata di 5 minuti, consiste in una domandina pro forma su quello che si è fatto nello scritto. Se va bene, viene confermato (± 1 punto) il voto dello scritto.
  2. per alzare il voto dello scritto (modalità difficile, disponibile solo nelle sessioni regolari): generalmente della durata di una mezz'ora, consiste in un orale vero, in cui può venir chiesto di tutto, da esercizi non svolti e/o sbagliati nello scritto a domande di teoria e dimostrazioni. Se va bene, il voto si può alzare anche di parecchio; ma può anche andare male...

Appelli:

• 12 gennaio 2011:

• 15 dicembre 2010: testo, soluzione e risultati.
  file PDF

Compiti degli anni precedenti

• 7 gennaio 2008: testo, soluzione e risultati.
  file PDF,

• 11 dicembre 2007: testo, soluzione e risultati.
  file PDF,

• 19 settembre 2006: testo, soluzione e risultati.
  files PDF, LaTeX, DVI e PostScript

• 29 agosto 2006:

• 19 luglio 2006: testo, soluzione e risultati.
  files PDF, LaTeX, DVI e PostScript

• 4 luglio 2006: testo, soluzione e risultati.
  files PDF, LaTeX, DVI e PostScript

• 3 aprile 2006: testo, soluzione e risultati.
  files PDF, LaTeX, DVI e PostScript

• 11 gennaio 2006: testo, soluzione e risultati.
  files PDF, LaTeX, DVI e PostScript

• 12 dicembre 2005: testo, soluzione e risultati.
  files PDF, LaTeX, DVI e PostScript

• 9 novembre 2005: testo, soluzione e risultati.
  files PDF (81k), LaTeX (10k), DVI (13k) e PostScript (77k)

• 9 settembre 2003: testo, soluzione e risultati.
  files PDF (87k), LaTeX (13k), DVI (19k) e PostScript (89k)

• 25 settembre 2003: testo, soluzione e risultati.
  files PDF (92k), LaTeX (14k), DVI (21k) e Postscript (95k)

• 5 novembre 2003: testo, soluzione e risultati.
  files PDF (75k), LaTeX (8k), DVI (10k) e PostScript (72k)

• 3 dicembre 2003: testo, soluzione e risultati.
  files PDF (81k), LaTeX (10k), DVI (15k) e PostScript (81k)

• 15 dicembre 2003: testo, soluzione e risultati.
  files PDF (87k), LaTeX (13k), DVI (18k) e PostScript (86k)

• 7 gennaio 2004: testo, soluzione e risultati.
  files PDF (91k), LaTeX (15k), DVI (20k) e PostScript (47k)

• 16 luglio 2004: testo, soluzione e risultati.
  files PDF (84k), LaTeX (10k), DVI (14k) e PostScript (79k)

Torna al sito del Gruppo di Ricerca in Probabilità