Calcolo Numerico

Lezione 1,

Argomenti
» Introduzione al corso (1h).
» Rappresentazione dei numeri reali.
» Un esempio.
» Numeri macchina.
» Alcune proprieta' numeri macchina (minimo, massimo).

» Argomento 1. Parte 1 (Presentazione del corso di Calcolo Numerico) [43:14] ✔ ↓
» Argomento 1. Parte 2 (Rappresentazione dei numeri reali ↦ Alcune proprieta' numeri macchina (cardinalita', spaziatura)) [45:18] ✔ ↓


Lezione 2,

Argomenti
» Alcune proprieta' numeri macchina (cardinalita', spaziatura).
» Precisione singola e doppia.
» Troncamento e arrotondamento (con esempi e osservazioni).
» Precisione di macchina.
» Errori relativi e assoluti (per numeri e vettori), con esempi.
» Unita' di arrotondamento.

» Argomento 1. Parte 3 (Precisione singola e doppia ↦ Unita' di arrotondamento) [33:32] ✔ ↓


Lezione 1 di Laboratorio,

Argomenti
» Matlab e Octave.
» Interfaccia grafica di Matlab.
» Command Window.
» Variabili.
» Valori che possono assumere le variabili (scalari, vettori, matrici, stringhe).
» Operazioni e funzioni elementari predefinite (con esempi).
» Alcune costanti.
» Help di Matlab.
» Assegnazioni.
» Il comando "whos".
» Vettori riga e colonna in Matlab.
» Comandi "length" e "size", "zeros", "ones".
» Vettori equispaziati come "a:h:b" o con "linspace".
» Accesso alle componenti di un vettore.

» Installazione Matlab (Nota sull'installazione di Matlab presso l'Universita' di Padova) [4:28] (corretto link: ore 10.48 del 16/03/20) ✔ ↓
» Installazione Matlab (Nota ulteriore sull'installazione di Matlab presso l'Universita' di Padova) [1.39] ✔ ↓
» Argomento 1. Parte 1 (Introduzione a Matlab ↦ Comando whos) [41:29] (corretto link: ore 10.48 del 16/03/20) ✔ ↓
» Argomento 1. Parte 2 (Vettori in Matlab ↦ Accesso alla componente di un vettore) [24:21] ✔ ↓


Lezione 3,

Argomenti
» Operazioni con i numeri macchina.
» Proprietà commutativa, associativa e distributiva delle operazioni floating point (con esempi).
» Errori nelle operazioni e loro propagazione.
» Il caso della somma, con dimostrazione.
» Esempio sulla cancellazione.
» Il caso del prodotto, con dimostrazione.
» Alcune problematiche numeriche.
» Valutazione di una funzione (condizionamento di una funzione).
» Alcuni esempi del condizionamento.

» Argomento 1. Parte 4 (Operazioni con i numeri macchina ↦ Errore nel prodotto, con dimostrazione) [17:23] ✔ ↓
» Argomento 1. Parte 5 (Alcune problematiche numeriche ↦ Alcuni esempi del condizionamento) [10:10] ✔ ↓


Lezione 4,

Argomenti
» Stabilita' di un algoritmo.
» Calcolo di una radice di secondo grado.
» Approssimazione di pi greco.
» Una successione ricorrente.
» Sulla somma ((1+x)-1)/x.
» Sulla valutazione di f(x)=x come tan(arctan(x)).
» Valutazione di polinomi: complessita' computazionale.

» Argomento 1. Parte 6 (Stabilita' di un algoritmo ↦ Una successione ricorrente) [27:32] ✔ ↓
» Argomento 1. Parte 7 (Sulla somma ((1+x)-1)/x ↦ Potenza di un numero) [21:20] ✔ ↓


Lezione 2 di Laboratorio,

Argomenti
» Operazioni elementari di tipo vettoriale.
» Funzioni elementari e loro applicazione a vettori.
» Note sulle operazioni moltiplicative.
» Somma tra scalari e vettori.
» Operazioni moltiplicative tra scalari e vettori.
» Definizione di funzioni matematiche.
» La grafica di Matlab e il comando plot.

» Argomento 1. Parte 3 (Vettori ↦ Operazioni vettoriali) [8.46] ✔ ↓
» Argomento 1. Parte 4 (Operazioni vettoriali) [19.05] ✔ ↓
» Argomento 1. Parte 5 (Operazioni vettoriali ↦ Grafica in Matlab) [20:43] ✔ ↓


Lezione 5,

Argomenti
» Potenza di un numero.
» Esponenziale di un numero.
» Determinanti: confronto della regola di Laplace e metodo con fattorizzazione LU.
» Soluzione numerica di equazioni nonlineari esempi, grafici e metodi iterativi.
» Ordine di convergenza, con esempio.
» Metodo di bisezione.

» Argomento 1. Parte 8 (Valutazione dell'esponenziale ↦ Determinante di una matrice) [10:04] (corretto link: ore 10.48 del 16/03/20) ✔ ↓
» Argomento 2. Parte 1 (Equazioni nonlineari ↦ Convergenza bisezione (asserto)) [35:34] ✔ ↓

Lezione 6,

Argomenti
» Convergenza del metodo di bisezione (con dimostrazione).
» Test di arresto per il metodo di bisezione (con esempi).
» Metodo di Newton.
» Interpretazione grafica del metodo di Newton.
» Test di arresto per il metodo di Newton.
» Un teorema di convergenza locale per il metodo di Newton (traccia della dimostrazione, parte I).

» Argomento 2. Parte 2 (Convergenza Bisezione ↦ Alcuni test di arresto.) [35:21] ✔ ↓
» Argomento 2. Parte 3 (Metodo di Newton ↦ Teorema di Convergenza locale (asserto)) [16:08] ✔ ↓


Lezione 3 di Laboratorio

Argomenti
» La scala semilogaritmica
» Altri comandi per grafici
» I comandi legend e title
» Le stringhe di testo
» I comandi format, disp, fprintf
» Le matrici: definizione.
» Alcune funzioni matriciali di Matlab.
» Operazioni elementari con Matrici.
» Prodotto matrice vettore
» Soluzione di sistemi lineari.
» Le matrici: gestione di matrici particolari con [A; B] e [A B].
» Definizione di una funzione
» Definizione di una funzione: le directories
» Definizione di una funzione: variabili locali
» Definizione di una funzione: piu variabili in input e output

» Argomento 1. Parte 6 (Scala semilogaritmica ↦ fprintf) [39:32] ✔ ↓
» Argomento 1. Parte 7 (Matrici: definizione ↦ gestione di matrici particolari con [A; B] e [A B].) [26:29] ✔ ↓
» Argomento 1. Parte 8 (Definizione di una funzione ↦ Definizione di una funzione: piu variabili in input e output) [12:20] ✔ ↓


Lezione 7,

Argomenti
» Un teorema di convergenza locale per il metodo di Newton (traccia della dimostrazione, parte II).
» Un teorema di convergenza globale per il metodo di Newton (con dimostrazione).
» Newton e zeri multipli.
» Newton: alcuni esempi (casi semplici e multipli).

» Argomento 2. Parte 4 (Convergenza Newton Locale (dimostrazione) ↦ Alcuni esempi) [49:58] ✔ ↓


Lezione 8,

Argomenti
» Newton: radici quadrate ed n-sime.
» Metodo delle secanti.
» Metodo delle secanti: un teorema di convergenza.
» Metodo delle secanti: un esempio.
» Metodi di punto fisso: introduzione.
» Teorema di punto fisso di Banach (dimostrazione punto 3 (ordine convergenza)).
» Un teorema di punto fisso di convergenza locale (senza dimostrazione).
» Un teorema di punto fisso di convergenza locale (ordine p, senza dimostrazione).
» Metodo di Newton come metodo di punto fisso.
» Metodo di Newton e teorema di punto fisso di convergenza locale (traccia della dimostrazione).
» Calcolo di radice di 5 mediante 4 successioni di punto fisso.

» Argomento 2. Parte 5 (Newton (esempi) ↦ Metodo delle Secanti (esempi)) [16:29] ✔ ↓
» Argomento 2. Parte 6 (Punto fisso ↦ Punto fisso (esempi)) [44:28] ✔ ↓


Lezione 4 di Laboratorio,

Argomenti
» Operatori di relazione e condizionali (con esempi)
» Le istruzioni condizionali: if then else (con esempi)
» Le istruzioni condizionali: switch (con esempi)
» Ciclo For (con esempi)
» Ciclo While (con esempi)
» Relazioni tra ciclo for e ciclo while (con esempi)
» Gestione dei fles dei dati. Come caricare dati da files (con esempi)
» Gestione dei files dei dati. Salvare dati su file.
» Altri comandi.
» Radici di Secondo grado in Matlab: metodo stabile e instabile.
» Calcolo di pi greco mediante successioni.
» Download lezione


Lezione 9,

Argomenti
» Interpolazione: introduzione.
» Esistenza e unicita' del polinomio interpolatore (con dimostrazione)
» Errore di interpolazione (con dimostrazione)
» Esempio di stima dell'errore di interpolazione.

» Argomento 3. Parte 1 (Interpolazione: introduzione ↦ Esempio di stima dell'errore di interpolazione) [47:28] ✔ ↓


Lezione 10,

Argomenti
» Convergenza dell'interpolazione polinomiale: nodi equispaziati e di tipo Chebyshev;
» Convergenza uniforme: una stima uniforme dell'errore tra funzione e polinomio interpolatore;
» Teorema di Faber e di Bernstein;
» Controesempio di Runge: comportamento dell'interpolante in nodi equispaziati e di Chebyshev;
» Stabilita' dell'interpolazione polinomiale: stime, costante di Lebesgue;
» Costante di Lebesgue per nodi equispaziati e di Chebyshev.

» Argomento 3. Parte 2 (Convergenza dell'interpolazione polinomiale: nodi equispaziati e di tipo Chebyshev ↦ Costante di Lebesgue per nodi equispaziati e di Chebyshev) [44:12] ✔ ↓


Lezione 5 di Laboratorio,

Argomenti
» Una successione ricorrente: (utilizzo successioni, if then else e cicli for, anche con indice negativo);
» Valutazione di polinomi: (chiamate di functions da una function).

» Argomento 2. Parte 2. (Evitare un'amplificazione indesiderata degli errori ↦ complessità computazionale) [49:27] (l'autrice del video e' la Dott.ssa Giulia Sarego) ✔ ↓


Lezione 11,

Argomenti
» Un problema dell'interpolazione polinomiale.
» Funzioni polinomiali a tratti. Funzioni polinomiali a tratti, interpolanti e di grado "s".
» Esistenza e unicita' delle funzioni polinomiali a tratti, interpolanti e di grado "s" su dati che sono multiplo di "s".
» Errore dell'interpolante polinomiale a tratti di grado 1.
» Convergenza uniforme delle funzioni polinomiali a tratti, interpolanti e di grado "1".

» Argomento 4. Parte 1 (Un problema dell'interpolazione polinomiale ↦ Convergenza uniforme delle funzioni polinomiali a tratti, interpolanti e di grado "1") [44:12] ✔ ↓


Lezione 12,

Argomenti
» Splines.
» Differenza tra splines e interpolanti polinomiali a tratti.
» Splines cubiche interpolanti.
» Analisi dell'unicita' delle splines cubiche.
» Splines naturali, vincolate e periodiche.
» Splines not-a-knot.
» Convergenza delle splines cubiche.
» Osservazione sulla convergenza uniforme.
» Esperimento di Runge con splines.

» Argomento 4. Parte 2 (Splines ↦ Esperimento di Runge e splines cubiche) [49:13] ✔ ↓


Lezione 6 di Laboratorio,

Argomenti
» Metodo di bisezione in Matlab (con demo).
» Metodo di Newton in Matlab (con cicli while).
» Metodo di Newton in Matlab (con cicli for, esercizio).

» Argomento 3. (il metodo di bisezione ↦ il metodo di punto fisso) [44:11] (l'autrice del video e' la Dott.ssa Giulia Sarego) ✔ ↓ (102 Mb)


Lezione 13,

Argomenti
» Problema ai minimi quadrati: definizione e motivazioni.
» Teorema che lega il numero di campionamenti all'errore dei minimi quadrati.
» Alcuni esempi.
» Curve fitting.
» Regressione lineare (con esempio).
» Minimi quadrati e ricostruzione di funzione da dati perturbati..

» Argomento 5. Parte 1 (Problema ai minimi quadrati: definizione e motivazioni ↦ Minimi quadrati e ricostruzione di funzione da dati perturbati) [47:50] ✔ ↓


Lezione 14,

Argomenti
» Derivazione e un risultato negativo di convergenza uniforme.
» Analisi del rapporto incrementale (con dimostrazione).
» Instabilita' del rapporto incrementale (con dimostrazione).
» Esempi.
» Analisi del metodo del rapporto incrementale simmetrico (con dimostrazione).
» Instabilita' del metodo del rapporto incrementale simmetrico (con dimostrazione).
» Esempi.

» Argomento 6. Parte 1 (Derivazione e un risultato negativo di convergenza uniforme ↦ Esempi) [58:16] ✔ ↓


Lezione 7 di Laboratorio,

Argomenti
» Interpolazione in Matlab: polyfit e polyval.
» La funzione di Runge in Matlab (esempio, con demo).
» Esercizi.

» Argomento 4. Parte 1. (l'interpolazione polinomiale in Matlab tramite le funzioni "polyfit" e "polyval" ↦ esercizi relativi all'interpolazione al variare del grado del polinomio) [41:14] (l'autrice del video e' la Dott.ssa Giulia Sarego) ✔ ↓


Lezione 15,

Argomenti
» Integrazione numerica: stabilita' e convergenza uniforme (con dimostrazione).
» Formule interpolatorie.
» Grado di precisione.
» Grado di precisione delle formule interpolatorie.
» Regole del rettangolo: definizione ed errore.
» Regola midpoint: definizione ed errore.
» Formule di Newton-Cotes chiuse.
» Regola del trapezio ed errore.
» Regola di Cavalieri-Simpson ed errore.

» Argomento 7. Parte 1 (Integrazione numerica: stabilita' e convergenza uniforme (con dimostrazione) ↦ Regola di Cavalieri-Simpson, errore, grado di precisione) [49:55] ✔ ↓


Lezione 16,

Argomenti
» Formule composte e interpolanti a tratti.
» Formula composta midpoint, errore, grado di precisione, esempio.
» Formula composta trapezi, errore, grado di precisione, esempio.
» Formula composta Cavalieri-Simpson, errore, grado di precisione, esempio.
» Formule composte: esempi e rapporti di convergenza.
» Stabilita' formule di quadratura (con dimostrazione).

» Argomento 7. Parte 2 (Formule composte e interpolanti a tratti ↦ Stabilita' formule di quadratura (con dimostrazione).) [59:18] ✔ ↓


Lezione 8 di Laboratorio,

Argomenti
» Splines in Matlab: interp1 e spline.
» alcuni esempi.
» Esercizi.

» Argomento 5. Parte 1. (spline lineari ↦ esercizi relativi) [42:45] (l'autrice del video e' la Dott.ssa Giulia Sarego) ✔ ↓


Lezione 17,

Argomenti
» Convergenza di alcune formule di quadratura (legame con la convergenza uniforme).
» Il caso delle formule di Newton-Cotes, di quelle basate sull'integrazione di interpolanti in nodi di Chebyshev e delle formule composte.
» Esempi.

» Argomento 7. Parte 3 (Convergenza di alcune formule di quadratura (legame con la convergenza uniforme) ↦ Esempi) [22:22] ✔ ↓


Lezione 18,

Argomenti
» Estrapolazione.
» Applicazione dell'estrapolazione alla formula dei trapezi composta.
» Applicazione dell'estrapolazione alla derivazione numerica.

» Argomento 8. Parte 1 (Il concetto di estrapolazione ↦ Esempi) [45:36] ✔ ↓


Lezione 9 di Laboratorio,

Argomenti
» Approssimazione ai minimi quadrati in Matlab;
» Polyfit e minimi quadrati;
» Regressione lineare con esempio in Matlab;
» Minimi quadrati e dati perturbati con esempio in Matlab;
» Esercizi.

» Argomento 6. Parte 1. (approssimazione ai minimi quadrati ↦ regressione lineare) [42:45] (l'autrice del video e' la Dott.ssa Giulia Sarego) ✔ ↓


Lezione 19,

Argomenti
» Norma di vettori (definizione)
» Norme "p" e infinito.
» Esempi.
» Norme indotte di matrici (definizione).
» Raggio spettrale.
» Norme indotte di matrici (esempi p=1, p=2, p=inf).
» Risoluzione di sistemi lineari con termini noti perturbati.
» Sistemi perturbato Ax=b e numero di condizionamento (dimostrazione caso particolare).
» Un esempio.
» Sistemi perturbato Ax=b e numero di condizionamento (caso generale, solo asserto).

» Argomento 9. Parte 1 (Norma di vettori ↦ Sistemi perturbato Ax=b e numero di condizionamento (caso generale, solo asserto)) [67:39] ✔ ↓


Lezione 20,

Argomenti
» Sistemi lineari. Un esempio.
» Matrici triangolari.
» Risoluzione numerica di sistemi Ax=b con A matrice triangolare.
» Risoluzione numerica di sistemi Ax=b con A matrice triangolare: complessita' computazionale.
» Risoluzione di sistemi lineari (esempio matriciale).
» Fattorizzazione LU.
» Risoluzione di sistemi lineari e loro legame con la fattorizzazione LU.
» Problematiche della fattorizzazione LU e della risoluzione dei sistemi lineari.
» Risoluzioni di sistemi lineari con pivoting.
» Fattorizzazione PA=LU.

» Argomento 9. Parte 2 (Risoluzione di sistemi lineari (esempio matriciale) ↦ Fattorizzazione PA=LU) [65:38] ✔ ↓


Lezione 10 di Laboratorio,

Argomenti
» Regola dei trapezi e di Cavalieri-Simpson;
» Una demo di esempio sulla regola dei trapezi e di Cavalieri-Simpson;
» Formula dei trapezi composta;
» Formula dei trapezi composta: implementazione in Matlab;
» Formula dei Cavalieri-Simpson composta;
» Formula dei Cavalieri-Simpson composta: implementazione in Matlab;
» Una demo di esempio sulla formula composta dei trapezi e di Cavalieri-Simpson;
» Esercizio assegnato.

» Argomento 6. Parte 1. (formula regola dei trapezi ↦ formule composte) [51:36] (l'autrice del video e' la Dott.ssa Giulia Sarego) ✔ ↓ (1.37GB)


Lezione 21,

Argomenti
» Matrici cui a priori non serve pivoting: a predominanza diagonale, simmetriche definite positive.
» Pseudocodice A=LU.
» Complessita' computazionale A=LU (senza dimostrazione).
» Tempi di calcolo.
» Fattorizzazione Cholesky e sua complessita'.
» Risoluzione del sistema Ax=b, nota PA=LU.
» Determinante di una matrice: complessita' Laplace vs LU.
» Inversa: cofattori vs LU.

» Argomento 9. Parte 3 (Matrici cui a priori non serve pivoting: a predominanza diagonale, simmetriche definite positive. ↦ Inversa: cofattori vs LU) [43:53] ✔ ↓


Lezione 22,

Argomenti
» Metodi iterativi e metodi diretti: breve introduzione.
» Splitting A=D-E-F.
» Splitting A=P-N.
» Metodi iterativi stazionari: x^(k+1)=Bx^(k)+c.
» Splitting A=P-N: caso Jacobi.
» Metodo di Jacobi (esempio matrice 3 x 3).
» Splitting A=P-N: caso Gauss-Seidel.
» Metodo di Gauss-Seidel (esempio matrice 3 x 3).

» Argomento 9. Parte 4 (Metodi iterativi e metodi diretti: breve introduzione. ↦ Metodo di Gauss-Seidel (esempio matrice 3 x 3).) [46:17] ✔ ↓


Lezione 11 di Laboratorio,

Argomenti
» Algebra lineare numerica (parte I)

» Argomento 8. Parte 1. (Condizionamento ↦ Esempi) [43:15] (l'autrice del video e' la Dott.ssa Giulia Sarego) ✔ ↓ (1.19GB)

In caso di problemi col browser, si consideri quale alternativa:

» Argomento 8. Parte 1. (Condizionamento ↦ Esempi) [43:15] (l'autrice del video e' la Dott.ssa Giulia Sarego) ✔ ↓ (87.7MB)


Lezione 23,

Argomenti
» Convergenza di Jacobi per matrici a pred. diag. stretta (senza dimostrazione).
» Metodi iterativi e loro convergenza: esempi.
» Test di arresto.
» Sistemi sovradeterminati e soluzione ai minimi quadrati: definizione.
» Sistemi sovradeterminati e soluzione ai minimi quadrati: teorema.
» Legame tra soluzione dell'approssimazione ai minimi quadrati ed equazioni normali (senza dimostrazione).

» Argomento 9. Parte 5 (Convergenza di Jacobi per matrici a pred. diag. stretta (senza dimostrazione) ↦ Test di arresto.) [20:28] ✔ ↓
» Argomento 9. Parte 6 (Sistemi sovradeterminati e soluzione ai minimi quadrati: definizione ↦ Legame tra soluzione dell'approssimazione ai minimi quadrati ed equazioni normali (senza dimostrazione)) [19:04] ✔ ↓


Lezione 24,

Argomenti
» Matrici rettangolari e fattorizzazione Cholesky.
» Risoluzione equazioni normali con fattorizzazione Cholesky.
» Risoluzione equazioni normali con fattorizzazione Cholesky: un esempio.
» Matrici rettangolari e fattorizzazione QR.
» Risoluzione equazioni normali con fattorizzazione QR.
» Risoluzione equazioni normali con fattorizzazione QR: un esempio.
» Matrici rettangolari e fattorizzazione SVD.
» Risoluzione equazioni normali con fattorizzazione SVD.
» Risoluzione equazioni normali con fattorizzazione SVD: un esempio.

» Argomento 9. Parte 7 (Matrici rettangolari e fattorizzazione Cholesky. ↦ Risoluzione equazioni normali con fattorizzazione SVD: un esempio.) [43:01] ✔ ↓


Lezione 12 di Laboratorio,

Argomenti
» Algebra lineare numerica (parte II)
» Fattorizzazione LU;
» Metodi iterativi.

» Argomento 8. Parte 2. (Fattorizzazione LU ↦ Metodo di Gauss-Seidel) [54:51] (l'autrice del video e' la Dott.ssa Giulia Sarego) ✔ ↓ (1.41GB)

In caso di problemi col browser, si consideri quale alternativa:

» Argomento 8. Parte 2. (Fattorizzazione LU ↦ Metodo di Gauss-Seidel) [54:51] (l'autrice del video e' la Dott.ssa Giulia Sarego) ✔ ↓ (1.41GB)

Videolezioni del tutoraggio, corso per il 2019-2020

1. Esercizio 1. (sequenza numerica, autore: A. Sommariva)
   » Testo.
   » Correzione (Matlab).
   » Correzione (video). ↓


2. Esercizio 2. (esponenziale e formula di Taylor, autore: A. Sommariva)
   » Testo.
   » Correzione (Matlab).
   » Correzione (video). ↓


3. Esercizio 3. (calcola ordine, autore: A. Sommariva)
   » Testo.
   » Matlab.
   » Correzione (video). ↓


4. Esercizio 4. (esempio fisica, autore: C. Arcamone)
   » Testo.
   » Matlab.
   » Correzione (video). ✔ ↓


5. Esercizio 5. (mappa logistica, autore: F. Tedeschi)
   » Testo.
   » Matlab.
   » Correzione (video) ↓


6. Esercizio 6. (regula falsi, autore: C. Arcamone)
   » Testo.
   » Matlab.
   » Correzione (video) ↓


7. Esercizio 7. (interpolazione inversa, autore: A. Sommariva)
   » Testo.
   » MATLAB.
   » Correzione (video) ↓


8. Esercizio 8. (polinomi di Lagrange, autore: F. Tedeschi)
   » Testo.
   » Testo.
   » MATLAB.
   » Correzione (video) ↓


9. Esercizio 9. (covid e minimi quadrati, autore: A. Sommariva)
   » Testo.
   » covid.dat (file necessario per l'esercizio!).
   » MATLAB.
   » Correzione (video) [14:23] ✔ ↓


10. Esercizio 10. (numeri primi, autore: F. Lunardon)
    » Testo.
    » Testo.
    » MATLAB.
    » Correzione (video) [08:02] ✔ ↓