Calcolo Numerico


  Laurea Triennale, primo anno, a.a. 2019-2020
  Ing. Energia Canale B e Ing. Meccanica Canale 3,
  Docente: Alvise Sommariva
  Corso in collaborazione con Giulia Sarego


Videolezioni del corso per il 2019-2020


  • Lezione 1 di teoria

    » Introduzione al corso (1h).
    » Rappresentazione dei numeri reali.
    » Un esempio.
    » Numeri macchina.
    » Alcune proprieta' numeri macchina (minimo, massimo).


    » Argomento 1. Parte 1 (Presentazione del corso di Calcolo Numerico) [43:14]

  • Lezione 2 di teoria

    » Alcune proprieta' numeri macchina (cardinalita', spaziatura).
    » Precisione singola e doppia.
    » Troncamento e arrotondamento (con esempi e osservazioni).
    » Precisione di macchina.
    » Errori relativi e assoluti (per numeri e vettori), con esempi.
    » Unita' di arrotondamento.
    » Argomento 1. Parte 2 (Rappresentazione dei numeri reali ↦ Alcune proprieta' numeri macchina (cardinalita', spaziatura)) [45:18]

  • Lezione 3 di teoria:

    » Operazioni con i numeri macchina.
    » Proprietà commutativa, associativa e distributiva delle operazioni floating point (con esempi).
    » Errori nelle operazioni e loro propagazione.
    » Il caso della somma, con dimostrazione.
    » Esempio sulla cancellazione.
    » Il caso del prodotto, con dimostrazione.
    » Alcune problematiche numeriche.
    » Valutazione di una funzione (condizionamento di una funzione).
    » Alcuni esempi del condizionamento.
    » Argomento 1. Parte 3 (Precisione singola e doppia ↦ Unita' di arrotondamento) [33:32]
    » Argomento 1. Parte 4 (Operazioni con i numeri macchina ↦ Errore nel prodotto, con dimostrazione) [17:23]
    » Argomento 1. Parte 5 (Alcune problematiche numeriche ↦ Alcuni esempi del condizionamento) [10:10]

  • Lezione 1 di Laboratorio

    » Matlab e Octave.
    » Interfaccia grafica di Matlab.
    » Command Window.
    » Variabili.
    » Valori che possono assumere le variabili (scalari, vettori, matrici, stringhe).
    » Operazioni e funzioni elementari predefinite (con esempi).
    » Alcune costanti.
    » Help di Matlab.
    » Assegnazioni.
    » Il comando "whos".
    » Vettori riga e colonna in Matlab.
    » Comandi "length" e "size", "zeros", "ones".
    » Vettori equispaziati come "a:h:b" o con "linspace".
    » Accesso alle componenti di un vettore.
    » Installazione Matlab (Nota sull'installazione di Matlab presso l'Universita' di Padova) [4:28] (corretto link: ore 10.48 del 16/03/20)
    » Installazione Matlab (Nota ulteriore sull'installazione di Matlab presso l'Universita' di Padova) [1.39]
    » Argomento 1. Parte 1 (Introduzione a Matlab ↦ Comando whos) [41:29] (corretto link: ore 10.48 del 16/03/20)
    » Argomento 1. Parte 2 (Vettori in Matlab ↦ Accesso alla componente di un vettore) [24:21]

  • Lezione 4 di teoria:

    » Stabilita' di un algoritmo.
    » Calcolo di una radice di secondo grado.
    » Approssimazione di pi greco.
    » Una successione ricorrente.
    » Sulla somma ((1+x)-1)/x.
    » Sulla valutazione di f(x)=x come tan(arctan(x)).
    » Valutazione di polinomi: complessita' computazionale.
    » Argomento 1. Parte 6 (Stabilita' di un algoritmo ↦ Una successione ricorrente) [27:32]
    » Argomento 1. Parte 7 (Sulla somma ((1+x)-1)/x ↦ Potenza di un numero) [21:20]

  • Lezione 5 di teoria:

    » Potenza di un numero.
    » Esponenziale di un numero.
    » Determinanti: confronto della regola di Laplace e metodo con fattorizzazione LU.
    » Soluzione numerica di equazioni nonlineari esempi, grafici e metodi iterativi.
    » Ordine di convergenza, con esempio.
    » Metodo di bisezione.
    » Argomento 1. Parte 8 (Valutazione dell'esponenziale ↦ Determinante di una matrice) [10:04] (corretto link: ore 10.48 del 16/03/20)
    » Argomento 2. Parte 1 (Equazioni nonlineari ↦ Convergenza bisezione (asserto)) [35:34]

  • Lezione 2 di Laboratorio

    » Operazioni elementari di tipo vettoriale.
    » Funzioni elementari e loro applicazione a vettori.
    » Note sulle operazioni moltiplicative.
    » Somma tra scalari e vettori.
    » Operazioni moltiplicative tra scalari e vettori.
    » Definizione di funzioni matematiche.
    » La grafica di Matlab e il comando plot.
    » Argomento 1. Parte 3 (Vettori ↦ Operazioni vettoriali) [8.46]
    » Argomento 1. Parte 4 (Operazioni vettoriali) [19.05]
    » Argomento 1. Parte 5 (Operazioni vettoriali ↦ Grafica in Matlab) [20:43]

  • Lezione 6 di teoria

    » Convergenza del metodo di bisezione (con dimostrazione).
    » Test di arresto per il metodo di bisezione (con esempi).
    » Metodo di Newton.
    » Interpretazione grafica del metodo di Newton.
    » Test di arresto per il metodo di Newton.
    » Un teorema di convergenza locale per il metodo di Newton (traccia della dimostrazione, parte I).
    » Argomento 2. Parte 2 (Convergenza Bisezione ↦ Alcuni test di arresto.) [35:21]
    » Argomento 2. Parte 3 (Metodo di Newton ↦ Teorema di Convergenza locale (asserto)) [16:08]

  • Lezione 7 di teoria

    » Un teorema di convergenza locale per il metodo di Newton (traccia della dimostrazione, parte II).
    » Un teorema di convergenza globale per il metodo di Newton (con dimostrazione).
    » Newton e zeri multipli.
    » Newton: alcuni esempi (casi semplici e multipli).
    » Argomento 2. Parte 4 (Convergenza Newton Locale (dimostrazione) ↦ Alcuni esempi) [49:58]

  • Lezione 3 di laboratorio

    » La scala semilogaritmica
    » Altri comandi per grafici
    » I comandi legend e title
    » Le stringhe di testo
    » I comandi format, disp, fprintf
    » Le matrici: definizione.
    » Alcune funzioni matriciali di Matlab.
    » Operazioni elementari con Matrici.
    » Prodotto matrice vettore
    » Soluzione di sistemi lineari.
    » Le matrici: gestione di matrici particolari con [A; B] e [A B].
    » Definizione di una funzione
    » Definizione di una funzione: le directories
    » Definizione di una funzione: variabili locali
    » Definizione di una funzione: piu variabili in input e output
    » Argomento 1. Parte 6 (Scala semilogaritmica ↦ fprintf) [39:32]
    » Argomento 1. Parte 7 (Matrici: definizione ↦ gestione di matrici particolari con [A; B] e [A B].) [26:29]
    » Argomento 1. Parte 8 (Definizione di una funzione ↦ Definizione di una funzione: piu variabili in input e output) [12:20]

  • Lezione 8 di teoria

    » Newton: radici quadrate ed n-sime.
    » Metodo delle secanti.
    » Metodo delle secanti: un teorema di convergenza.
    » Metodo delle secanti: un esempio.
    » Metodi di punto fisso: introduzione.
    » Teorema di punto fisso di Banach (dimostrazione punto 3 (ordine convergenza)).
    » Un teorema di punto fisso di convergenza locale (senza dimostrazione).
    » Un teorema di punto fisso di convergenza locale (ordine p, senza dimostrazione).
    » Metodo di Newton come metodo di punto fisso.
    » Metodo di Newton e teorema di punto fisso di convergenza locale (traccia della dimostrazione).
    » Calcolo di radice di 5 mediante 4 successioni di punto fisso.
    » Argomento 2. Parte 5 (Newton (esempi) ↦ Metodo delle Secanti (esempi)) [16:29]
    » Argomento 2. Parte 6 (Punto fisso ↦ Punto fisso (esempi)) [44:28]

  • Lezione 9 di teoria

    » Interpolazione: introduzione.
    » Esistenza e unicita' del polinomio interpolatore (con dimostrazione)
    » Errore di interpolazione (con dimostrazione)
    » Esempio di stima dell'errore di interpolazione.
    » Argomento 3. Parte 1 (Interpolazione: introduzione ↦ Esempio di stima dell'errore di interpolazione) [47:28]

  • Lezione 4 di laboratorio

    » Operatori di relazione e condizionali (con esempi)
    » Le istruzioni condizionali: if then else (con esempi)
    » Le istruzioni condizionali: switch (con esempi)
    » Ciclo For (con esempi)
    » Ciclo While (con esempi)
    » Relazioni tra ciclo for e ciclo while (con esempi)
    » Gestione dei fles dei dati. Come caricare dati da files (con esempi)
    » Gestione dei files dei dati. Salvare dati su file.
    » Altri comandi.
    » Radici di Secondo grado in Matlab: metodo stabile e instabile.
    » Calcolo di pi greco mediante successioni.
    » Argomento 1. Parte 9. (Operatori di relazione e condizionali (con esempi) ↦ Altri comandi) [64:21] (il file e' la sostituzione di un precendemente che si interrompeva prima della fine)
    » Argomento 2. Parte 1. (Radici di Secondo grado in Matlab: metodo stabile e instabile ↦ Calcolo di pi greco mediante successioni) [18:09]
    » Le correzioni degli esercizi indicati nella dispensa [PDF, esercizi (testo e correzione)] sono in versione multimediale, ai seguenti urls:



  • Lezione 10 di teoria

    » Convergenza dell'interpolazione polinomiale: nodi equispaziati e di tipo Chebyshev;
    » Convergenza uniforme: una stima uniforme dell'errore tra funzione e polinomio interpolatore;
    » Teorema di Faber e di Bernstein;
    » Controesempio di Runge: comportamento dell'interpolante in nodi equispaziati e di Chebyshev;
    » Stabilita' dell'interpolazione polinomiale: stime, costante di Lebesgue;
    » Costante di Lebesgue per nodi equispaziati e di Chebyshev.
    » Argomento 3. Parte 2 (Convergenza dell'interpolazione polinomiale: nodi equispaziati e di tipo Chebyshev ↦ Costante di Lebesgue per nodi equispaziati e di Chebyshev) [44:12]

  • Lezione 11 di teoria

    » Un problema dell'interpolazione polinomiale.
    » Funzioni polinomiali a tratti. Funzioni polinomiali a tratti, interpolanti e di grado "s".
    » Esistenza e unicita' delle funzioni polinomiali a tratti, interpolanti e di grado "s" su dati che sono multiplo di "s".
    » Errore dell'interpolante polinomiale a tratti di grado 1.
    » Convergenza uniforme delle funzioni polinomiali a tratti, interpolanti e di grado "1".
    » Argomento 4. Parte 1 (Un problema dell'interpolazione polinomiale ↦ Convergenza uniforme delle funzioni polinomiali a tratti, interpolanti e di grado "1") [44:12]

  • Lezione 12 di teoria

    » Splines.
    » Differenza tra splines e interpolanti polinomiali a tratti.
    » Splines cubiche interpolanti.
    » Analisi dell'unicita' delle splines cubiche.
    » Splines naturali, vincolate e periodiche.
    » Splines not-a-knot.
    » Convergenza delle splines cubiche.
    » Osservazione sulla convergenza uniforme.
    » Esperimento di Runge con splines.
    » Argomento 4. Parte 2 (Splines ↦ Esperimento di Runge e splines cubiche) [49:13]

  • Lezione 5 di laboratorio

    » Una successione ricorrente: (utilizzo successioni, if then else e cicli for, anche con indice negativo);
    » Valutazione di polinomi: (chiamate di functions da una function).
    » Argomento 2. Parte 2. (Evitare un'amplificazione indesiderata degli errori ↦ complessità computazionale) [49:27] (l'autrice del video e' la Dott.ssa Giulia Sarego)

  • Lezione 13 di teoria

    » Problema ai minimi quadrati: definizione e motivazioni.
    » Teorema che lega il numero di campionamenti all'errore dei minimi quadrati.
    » Alcuni esempi.
    » Curve fitting.
    » Regressione lineare (con esempio).
    » Minimi quadrati e ricostruzione di funzione da dati perturbati..

    » Argomento 5. Parte 1 (Problema ai minimi quadrati: definizione e motivazioni ↦ Minimi quadrati e ricostruzione di funzione da dati perturbati) [47:50]

  • Lezione 14 di teoria

    » Derivazione e un risultato negativo di convergenza uniforme.
    » Analisi del rapporto incrementale (con dimostrazione).
    » Instabilita' del rapporto incrementale (con dimostrazione).
    » Esempi.
    » Analisi del metodo del rapporto incrementale simmetrico (con dimostrazione).
    » Instabilita' del metodo del rapporto incrementale simmetrico (con dimostrazione).
    » Esempi.

    » Argomento 6. Parte 1 (Derivazione e un risultato negativo di convergenza uniforme ↦ Esempi) [58:16]

  • Lezione 6 di laboratorio

    » Metodo di bisezione in Matlab (con demo).
    » Metodo di Newton in Matlab (con cicli while).
    » Metodo di Newton in Matlab (con cicli for, esercizio).

    » Argomento 3. (il metodo di bisezione ↦ il metodo di punto fisso) [44:11] (l'autrice del video e' la Dott.ssa Giulia Sarego) ↓ (102 Mb)

  • Lezione 15 di teoria

    » Integrazione numerica: stabilita' e convergenza uniforme (con dimostrazione).
    » Formule interpolatorie.
    » Grado di precisione.
    » Grado di precisione delle formule interpolatorie.
    » Regole del rettangolo: definizione ed errore.
    » Regola midpoint: definizione ed errore.
    » Formule di Newton-Cotes chiuse.
    » Regola del trapezio ed errore.
    » Regola di Cavalieri-Simpson ed errore.

    » Argomento 7. Parte 1 (Integrazione numerica: stabilita' e convergenza uniforme (con dimostrazione) ↦ Regola di Cavalieri-Simpson, errore, grado di precisione) [49:55]

  • Lezione 7 di laboratorio

    » Interpolazione in Matlab: polyfit e polyval.
    » La funzione di Runge in Matlab (esempio, con demo).
    » Esercizi.

    » Argomento 4. Parte 1. (l'interpolazione polinomiale in Matlab tramite le funzioni "polyfit" e "polyval" ↦ esercizi relativi all'interpolazione al variare del grado del polinomio) [41:14] (l'autrice del video e' la Dott.ssa Giulia Sarego)

  • Lezione 16 di teoria

    » Formule composte e interpolanti a tratti.
    » Formula composta midpoint, errore, grado di precisione, esempio.
    » Formula composta trapezi, errore, grado di precisione, esempio.
    » Formula composta Cavalieri-Simpson, errore, grado di precisione, esempio.
    » Formule composte: esempi e rapporti di convergenza.
    » Stabilita' formule di quadratura (con dimostrazione).

    » Argomento 7. Parte 2 (Formule composte e interpolanti a tratti ↦ Stabilita' formule di quadratura (con dimostrazione).) [59:18]

  • Lezione 17 di teoria

    » Convergenza di alcune formule di quadratura (legame con la convergenza uniforme).
    » Il caso delle formule di Newton-Cotes, di quelle basate sull'integrazione di interpolanti in nodi di Chebyshev e delle formule composte.
    » Esempi.
    » Il concetto di estrapolazione.
    » Estrapolazione di Richardson.
    » Le tabelle di estrapolazione.
    » Formula dei trapezi composte e metodo di Romberg.
    » Derivazione numerica: rapporti incrementali ed estrapolazione.
    » Esempi.

    » Argomento 7. Parte 3 (Convergenza di alcune formule di quadratura (legame con la convergenza uniforme) ↦ Esempi) [22:22]

  • Lezione 8 di laboratorio

    » Splines in Matlab: interp1 e spline.
    » alcuni esempi.
    » Esercizi.

    » Argomento 5. Parte 1. (spline lineari ↦ esercizi relativi) [42:45] (l'autrice del video e' la Dott.ssa Giulia Sarego)
  • Nota su fprintf

    » Nota su fprintf

  • Lezione 18 di teoria

    » Estrapolazione.
    » Applicazione dell'estrapolazione alla formula dei trapezi composta.
    » Applicazione dell'estrapolazione alla derivazione numerica.

    » Argomento 8. Parte 1 (Il concetto di estrapolazione ↦ Esempi) [45:36]

  • Lezione 19 di teoria

    » Norma di vettori (definizione)
    » Norme "p" e infinito.
    » Esempi.
    » Norme indotte di matrici (definizione).
    » Raggio spettrale.
    » Norme indotte di matrici (esempi p=1, p=2, p=inf).
    » Risoluzione di sistemi lineari con termini noti perturbati.
    » Sistemi perturbato Ax=b e numero di condizionamento (dimostrazione caso particolare).
    » Un esempio.
    » Sistemi perturbato Ax=b e numero di condizionamento (caso generale, solo asserto).

    » Argomento 9. Parte 1 (Norma di vettori ↦ Sistemi perturbato Ax=b e numero di condizionamento (caso generale, solo asserto)) [67:39]

  • Lezione 9 di laboratorio

    » Minimi quadrati in Matlab

    » Argomento 6. Parte 1. (approssimazione ai minimi quadrati ↦ regressione lineare) [42:45] (l'autrice del video e' la Dott.ssa Giulia Sarego)

  • Lezione 20 di teoria

    » Sistemi lineari. Un esempio.
    » Matrici triangolari.
    » Risoluzione numerica di sistemi Ax=b con A matrice triangolare.
    » Risoluzione numerica di sistemi Ax=b con A matrice triangolare: complessita' computazionale.
    » Risoluzione di sistemi lineari (esempio matriciale).
    » Fattorizzazione LU.
    » Risoluzione di sistemi lineari e loro legame con la fattorizzazione LU.
    » Problematiche della fattorizzazione LU e della risoluzione dei sistemi lineari.
    » Risoluzioni di sistemi lineari con pivoting.
    » Fattorizzazione PA=LU.

    » Argomento 9. Parte 2 (Risoluzione di sistemi lineari (esempio matriciale) ↦ Fattorizzazione PA=LU) [65:38]

  • Lezione 21 di teoria

    » Matrici cui a priori non serve pivoting: a predominanza diagonale, simmetriche definite positive.
    » Pseudocodice A=LU.
    » Complessita' computazionale A=LU (senza dimostrazione).
    » Tempi di calcolo.
    » Fattorizzazione Cholesky e sua complessita'.
    » Risoluzione del sistema Ax=b, nota PA=LU.
    » Determinante di una matrice: complessita' Laplace vs LU.
    » Inversa: cofattori vs LU.

    » Argomento 9. Parte 3 (Matrici cui a priori non serve pivoting: a predominanza diagonale, simmetriche definite positive. ↦ Inversa: cofattori vs LU) [43:53]

  • Lezione 10 di laboratorio

    » Formule di quadratura in Matlab

    »
    Argomento 6. Parte 1. (formula regola dei trapezi ↦ formule composte) [51:36] (l'autrice del video e' la Dott.ssa Giulia Sarego) (1.37GB)


  • Lezione 22 di teoria

    » Metodi iterativi e metodi diretti: breve introduzione.
    » Splitting A=D-E-F.
    » Splitting A=P-N.
    » Metodi iterativi stazionari: x^(k+1)=Bx^(k)+c.
    » Splitting A=P-N: caso Jacobi.
    » Metodo di Jacobi (esempio matrice 3 x 3).
    » Splitting A=P-N: caso Gauss-Seidel.
    » Metodo di Gauss-Seidel (esempio matrice 3 x 3).

    » Argomento 9. Parte 4 (Metodi iterativi e metodi diretti: breve introduzione. ↦ Metodo di Gauss-Seidel (esempio matrice 3 x 3).) [46:17]

  • Lezione 23 di teoria

    » Convergenza di Jacobi per matrici a pred. diag. stretta (senza dimostrazione).
    » Metodi iterativi e loro convergenza: esempi.
    » Test di arresto.
    » Sistemi sovradeterminati e soluzione ai minimi quadrati: definizione.
    » Sistemi sovradeterminati e soluzione ai minimi quadrati: teorema.
    » Legame tra soluzione dell'approssimazione ai minimi quadrati ed equazioni normali (senza dimostrazione).

    » Argomento 9. Parte 5 (Convergenza di Jacobi per matrici a pred. diag. stretta (senza dimostrazione) ↦ Test di arresto.) [20:28]
    » Argomento 9. Parte 6 (Sistemi sovradeterminati e soluzione ai minimi quadrati: definizione ↦ Legame tra soluzione dell'approssimazione ai minimi quadrati ed equazioni normali (senza dimostrazione)) [19:04]

  • Lezione 24 di teoria

    » Matrici rettangolari e fattorizzazione Cholesky.
    » Risoluzione equazioni normali con fattorizzazione Cholesky.
    » Risoluzione equazioni normali con fattorizzazione Cholesky: un esempio.
    » Matrici rettangolari e fattorizzazione QR.
    » Risoluzione equazioni normali con fattorizzazione QR.
    » Risoluzione equazioni normali con fattorizzazione QR: un esempio.
    » Matrici rettangolari e fattorizzazione SVD.
    » Risoluzione equazioni normali con fattorizzazione SVD.
    » Risoluzione equazioni normali con fattorizzazione SVD: un esempio.

    » Argomento 9. Parte 7 (Matrici rettangolari e fattorizzazione Cholesky. ↦ Risoluzione equazioni normali con fattorizzazione SVD: un esempio.) [43:01]

  • Lezione 11 di laboratorio

    » Condizionamento di Matrici

    » Argomento 8. Parte 1. (Condizionamento ↦ Esempi) [43:15] (l'autrice del video e' la Dott.ssa Giulia Sarego) (1.19GB)

    In caso di problemi col browser, si consideri quale alternativa:

    » Argomento 8. Parte 1. (Condizionamento ↦ Esempi) [43:15] (l'autrice del video e' la Dott.ssa Giulia Sarego) (87.7MB)


  • Lezione 12 di laboratorio

    » Fattorizzazione LU.

    » Argomento 8. Parte 2. (Fattorizzazione LU ↦ Metodo di Gauss-Seidel) [54:51] (l'autrice del video e' la Dott.ssa Giulia Sarego) (1.41GB)

    In caso di problemi col browser, si consideri quale alternativa:

    » Argomento 8. Parte 2. (Fattorizzazione LU ↦ Metodo di Gauss-Seidel) [54:51] (l'autrice del video e' la Dott.ssa Giulia Sarego) (1.41GB)


    Videolezioni del tutoraggio, corso per il 2019-2020


    1. Esercizio 1. (sequenza numerica, autore: A. Sommariva)
      » Testo.
      » Correzione (Matlab).
      » Correzione (video).

    2. Esercizio 2. (esponenziale e formula di Taylor, autore: A. Sommariva)
      » Testo.
      » Correzione (Matlab).
      » Correzione (video).

    3. Esercizio 3. (calcola ordine, autore: A. Sommariva)
      » Testo.
      » Matlab.
      » Correzione (video).

    4. Esercizio 4. (esempio fisica, autore: C. Arcamone)
      » Testo.
      » Matlab.
      » Correzione (video).

    5. Esercizio 5. (mappa logistica, autore: F. Tedeschi)
      » Testo.
      » Matlab.
      » Correzione (video)

    6. Esercizio 6. (regula falsi, autore: C. Arcamone)
      » Testo.
      » Matlab.
      » Correzione (video)

    7. Esercizio 7. (interpolazione inversa, autore: A. Sommariva)
      » Testo.
      » MATLAB.
      » Correzione (video)

    8. Esercizio 8. (polinomi di Lagrange, autore: F. Tedeschi)
      » Testo.
      » Testo.
      » MATLAB.
      » Correzione (video)

    9. Esercizio 9. (covid e minimi quadrati, autore: A. Sommariva)
      » Testo.
      » covid.dat (file necessario per l'esercizio!).
      » MATLAB.
      » Correzione (video) [14:23]

    10. Esercizio 10. (numeri primi, autore: F. Lunardon)
      » Testo.
      » Testo.
      » MATLAB.
      » Correzione (video) [08:02]