Calcolo NumericoLaurea Triennale, primo anno, a.a. 2019-2020 Ing. Energia Canale B e Ing. Meccanica Canale 3, Docente: Alvise Sommariva Corso in collaborazione con Giulia Sarego Videolezioni del corso per il 2019-2020
» Introduzione al corso (1h). » Rappresentazione dei numeri reali. » Un esempio. » Numeri macchina. » Alcune proprieta' numeri macchina (minimo, massimo). » Argomento 1. Parte 1 (Presentazione del corso di Calcolo Numerico) [43:14] ✔ ↓ » Alcune proprieta' numeri macchina (cardinalita', spaziatura). » Precisione singola e doppia. » Troncamento e arrotondamento (con esempi e osservazioni). » Precisione di macchina. » Errori relativi e assoluti (per numeri e vettori), con esempi. » Unita' di arrotondamento. » Argomento 1. Parte 2 (Rappresentazione dei numeri reali ↦ Alcune proprieta' numeri macchina (cardinalita', spaziatura)) [45:18] ✔ ↓ » Operazioni con i numeri macchina. » Proprietà commutativa, associativa e distributiva delle operazioni floating point (con esempi). » Errori nelle operazioni e loro propagazione. » Il caso della somma, con dimostrazione. » Esempio sulla cancellazione. » Il caso del prodotto, con dimostrazione. » Alcune problematiche numeriche. » Valutazione di una funzione (condizionamento di una funzione). » Alcuni esempi del condizionamento. » Argomento 1. Parte 3 (Precisione singola e doppia ↦ Unita' di arrotondamento) [33:32] ✔ ↓ » Argomento 1. Parte 4 (Operazioni con i numeri macchina ↦ Errore nel prodotto, con dimostrazione) [17:23] ✔ ↓ » Argomento 1. Parte 5 (Alcune problematiche numeriche ↦ Alcuni esempi del condizionamento) [10:10] ✔ ↓ » Matlab e Octave. » Interfaccia grafica di Matlab. » Command Window. » Variabili. » Valori che possono assumere le variabili (scalari, vettori, matrici, stringhe). » Operazioni e funzioni elementari predefinite (con esempi). » Alcune costanti. » Help di Matlab. » Assegnazioni. » Il comando "whos". » Vettori riga e colonna in Matlab. » Comandi "length" e "size", "zeros", "ones". » Vettori equispaziati come "a:h:b" o con "linspace". » Accesso alle componenti di un vettore. » Installazione Matlab (Nota sull'installazione di Matlab presso l'Universita' di Padova) [4:28] (corretto link: ore 10.48 del 16/03/20) ✔ ↓ » Installazione Matlab (Nota ulteriore sull'installazione di Matlab presso l'Universita' di Padova) [1.39] ✔ ↓ » Argomento 1. Parte 1 (Introduzione a Matlab ↦ Comando whos) [41:29] (corretto link: ore 10.48 del 16/03/20) ✔ ↓ » Argomento 1. Parte 2 (Vettori in Matlab ↦ Accesso alla componente di un vettore) [24:21] ✔ ↓ » Stabilita' di un algoritmo. » Calcolo di una radice di secondo grado. » Approssimazione di pi greco. » Una successione ricorrente. » Sulla somma ((1+x)-1)/x. » Sulla valutazione di f(x)=x come tan(arctan(x)). » Valutazione di polinomi: complessita' computazionale. » Argomento 1. Parte 6 (Stabilita' di un algoritmo ↦ Una successione ricorrente) [27:32] ✔ ↓ » Argomento 1. Parte 7 (Sulla somma ((1+x)-1)/x ↦ Potenza di un numero) [21:20] ✔ ↓ » Potenza di un numero. » Esponenziale di un numero. » Determinanti: confronto della regola di Laplace e metodo con fattorizzazione LU. » Soluzione numerica di equazioni nonlineari esempi, grafici e metodi iterativi. » Ordine di convergenza, con esempio. » Metodo di bisezione. » Argomento 1. Parte 8 (Valutazione dell'esponenziale ↦ Determinante di una matrice) [10:04] (corretto link: ore 10.48 del 16/03/20) ✔ ↓ » Argomento 2. Parte 1 (Equazioni nonlineari ↦ Convergenza bisezione (asserto)) [35:34] ✔ ↓ » Operazioni elementari di tipo vettoriale. » Funzioni elementari e loro applicazione a vettori. » Note sulle operazioni moltiplicative. » Somma tra scalari e vettori. » Operazioni moltiplicative tra scalari e vettori. » Definizione di funzioni matematiche. » La grafica di Matlab e il comando plot. » Argomento 1. Parte 3 (Vettori ↦ Operazioni vettoriali) [8.46] ✔ ↓ » Argomento 1. Parte 4 (Operazioni vettoriali) [19.05] ✔ ↓ » Argomento 1. Parte 5 (Operazioni vettoriali ↦ Grafica in Matlab) [20:43] ✔ ↓ » Convergenza del metodo di bisezione (con dimostrazione). » Test di arresto per il metodo di bisezione (con esempi). » Metodo di Newton. » Interpretazione grafica del metodo di Newton. » Test di arresto per il metodo di Newton. » Un teorema di convergenza locale per il metodo di Newton (traccia della dimostrazione, parte I). » Argomento 2. Parte 2 (Convergenza Bisezione ↦ Alcuni test di arresto.) [35:21] ✔ ↓ » Argomento 2. Parte 3 (Metodo di Newton ↦ Teorema di Convergenza locale (asserto)) [16:08] ✔ ↓ » Un teorema di convergenza locale per il metodo di Newton (traccia della dimostrazione, parte II). » Un teorema di convergenza globale per il metodo di Newton (con dimostrazione). » Newton e zeri multipli. » Newton: alcuni esempi (casi semplici e multipli). » Argomento 2. Parte 4 (Convergenza Newton Locale (dimostrazione) ↦ Alcuni esempi) [49:58] ✔ ↓ » La scala semilogaritmica » Altri comandi per grafici » I comandi legend e title » Le stringhe di testo » I comandi format, disp, fprintf » Le matrici: definizione. » Alcune funzioni matriciali di Matlab. » Operazioni elementari con Matrici. » Prodotto matrice vettore » Soluzione di sistemi lineari. » Le matrici: gestione di matrici particolari con [A; B] e [A B]. » Definizione di una funzione » Definizione di una funzione: le directories » Definizione di una funzione: variabili locali » Definizione di una funzione: piu variabili in input e output » Argomento 1. Parte 6 (Scala semilogaritmica ↦ fprintf) [39:32] ✔ ↓ » Argomento 1. Parte 7 (Matrici: definizione ↦ gestione di matrici particolari con [A; B] e [A B].) [26:29] ✔ ↓ » Argomento 1. Parte 8 (Definizione di una funzione ↦ Definizione di una funzione: piu variabili in input e output) [12:20] ✔ ↓ » Newton: radici quadrate ed n-sime. » Metodo delle secanti. » Metodo delle secanti: un teorema di convergenza. » Metodo delle secanti: un esempio. » Metodi di punto fisso: introduzione. » Teorema di punto fisso di Banach (dimostrazione punto 3 (ordine convergenza)). » Un teorema di punto fisso di convergenza locale (senza dimostrazione). » Un teorema di punto fisso di convergenza locale (ordine p, senza dimostrazione). » Metodo di Newton come metodo di punto fisso. » Metodo di Newton e teorema di punto fisso di convergenza locale (traccia della dimostrazione). » Calcolo di radice di 5 mediante 4 successioni di punto fisso. » Argomento 2. Parte 5 (Newton (esempi) ↦ Metodo delle Secanti (esempi)) [16:29] ✔ ↓ » Argomento 2. Parte 6 (Punto fisso ↦ Punto fisso (esempi)) [44:28] ✔ ↓ » Interpolazione: introduzione. » Esistenza e unicita' del polinomio interpolatore (con dimostrazione) » Errore di interpolazione (con dimostrazione) » Esempio di stima dell'errore di interpolazione. » Argomento 3. Parte 1 (Interpolazione: introduzione ↦ Esempio di stima dell'errore di interpolazione) [47:28] ✔ ↓ » Operatori di relazione e condizionali (con esempi) » Le istruzioni condizionali: if then else (con esempi) » Le istruzioni condizionali: switch (con esempi) » Ciclo For (con esempi) » Ciclo While (con esempi) » Relazioni tra ciclo for e ciclo while (con esempi) » Gestione dei fles dei dati. Come caricare dati da files (con esempi) » Gestione dei files dei dati. Salvare dati su file. » Altri comandi. » Radici di Secondo grado in Matlab: metodo stabile e instabile. » Calcolo di pi greco mediante successioni. » Argomento 1. Parte 9. (Operatori di relazione e condizionali (con esempi) ↦ Altri comandi) [64:21] (il file e' la sostituzione di un precendemente che si interrompeva prima della fine) ✔ ↓ » Argomento 2. Parte 1. (Radici di Secondo grado in Matlab: metodo stabile e instabile ↦ Calcolo di pi greco mediante successioni) [18:09] ✔ ↓ » Le correzioni degli esercizi indicati nella dispensa [PDF, esercizi (testo e correzione)] sono in versione multimediale, ai seguenti urls:
» Convergenza dell'interpolazione polinomiale: nodi equispaziati e di tipo Chebyshev; » Convergenza uniforme: una stima uniforme dell'errore tra funzione e polinomio interpolatore; » Teorema di Faber e di Bernstein; » Controesempio di Runge: comportamento dell'interpolante in nodi equispaziati e di Chebyshev; » Stabilita' dell'interpolazione polinomiale: stime, costante di Lebesgue; » Costante di Lebesgue per nodi equispaziati e di Chebyshev. » Argomento 3. Parte 2 (Convergenza dell'interpolazione polinomiale: nodi equispaziati e di tipo Chebyshev ↦ Costante di Lebesgue per nodi equispaziati e di Chebyshev) [44:12] ✔ ↓ » Un problema dell'interpolazione polinomiale. » Funzioni polinomiali a tratti. Funzioni polinomiali a tratti, interpolanti e di grado "s". » Esistenza e unicita' delle funzioni polinomiali a tratti, interpolanti e di grado "s" su dati che sono multiplo di "s". » Errore dell'interpolante polinomiale a tratti di grado 1. » Convergenza uniforme delle funzioni polinomiali a tratti, interpolanti e di grado "1". » Argomento 4. Parte 1 (Un problema dell'interpolazione polinomiale ↦ Convergenza uniforme delle funzioni polinomiali a tratti, interpolanti e di grado "1") [44:12] ✔ ↓ » Splines. » Differenza tra splines e interpolanti polinomiali a tratti. » Splines cubiche interpolanti. » Analisi dell'unicita' delle splines cubiche. » Splines naturali, vincolate e periodiche. » Splines not-a-knot. » Convergenza delle splines cubiche. » Osservazione sulla convergenza uniforme. » Esperimento di Runge con splines. » Argomento 4. Parte 2 (Splines ↦ Esperimento di Runge e splines cubiche) [49:13] ✔ ↓ » Una successione ricorrente: (utilizzo successioni, if then else e cicli for, anche con indice negativo); » Valutazione di polinomi: (chiamate di functions da una function). » Argomento 2. Parte 2. (Evitare un'amplificazione indesiderata degli errori ↦ complessità computazionale) [49:27] (l'autrice del video e' la Dott.ssa Giulia Sarego) ✔ ↓ » Problema ai minimi quadrati: definizione e motivazioni. » Teorema che lega il numero di campionamenti all'errore dei minimi quadrati. » Alcuni esempi. » Curve fitting. » Regressione lineare (con esempio). » Minimi quadrati e ricostruzione di funzione da dati perturbati.. » Argomento 5. Parte 1 (Problema ai minimi quadrati: definizione e motivazioni ↦ Minimi quadrati e ricostruzione di funzione da dati perturbati) [47:50] ✔ ↓ » Derivazione e un risultato negativo di convergenza uniforme. » Analisi del rapporto incrementale (con dimostrazione). » Instabilita' del rapporto incrementale (con dimostrazione). » Esempi. » Analisi del metodo del rapporto incrementale simmetrico (con dimostrazione). » Instabilita' del metodo del rapporto incrementale simmetrico (con dimostrazione). » Esempi. » Argomento 6. Parte 1 (Derivazione e un risultato negativo di convergenza uniforme ↦ Esempi) [58:16] ✔ ↓ » Metodo di bisezione in Matlab (con demo). » Metodo di Newton in Matlab (con cicli while). » Metodo di Newton in Matlab (con cicli for, esercizio). » Argomento 3. (il metodo di bisezione ↦ il metodo di punto fisso) [44:11] (l'autrice del video e' la Dott.ssa Giulia Sarego) ✔ ↓ (102 Mb) » Integrazione numerica: stabilita' e convergenza uniforme (con dimostrazione). » Formule interpolatorie. » Grado di precisione. » Grado di precisione delle formule interpolatorie. » Regole del rettangolo: definizione ed errore. » Regola midpoint: definizione ed errore. » Formule di Newton-Cotes chiuse. » Regola del trapezio ed errore. » Regola di Cavalieri-Simpson ed errore. » Argomento 7. Parte 1 (Integrazione numerica: stabilita' e convergenza uniforme (con dimostrazione) ↦ Regola di Cavalieri-Simpson, errore, grado di precisione) [49:55] ✔ ↓ » Interpolazione in Matlab: polyfit e polyval. » La funzione di Runge in Matlab (esempio, con demo). » Esercizi. » Argomento 4. Parte 1. (l'interpolazione polinomiale in Matlab tramite le funzioni "polyfit" e "polyval" ↦ esercizi relativi all'interpolazione al variare del grado del polinomio) [41:14] (l'autrice del video e' la Dott.ssa Giulia Sarego) ✔ ↓ » Formule composte e interpolanti a tratti. » Formula composta midpoint, errore, grado di precisione, esempio. » Formula composta trapezi, errore, grado di precisione, esempio. » Formula composta Cavalieri-Simpson, errore, grado di precisione, esempio. » Formule composte: esempi e rapporti di convergenza. » Stabilita' formule di quadratura (con dimostrazione). » Argomento 7. Parte 2 (Formule composte e interpolanti a tratti ↦ Stabilita' formule di quadratura (con dimostrazione).) [59:18] ✔ ↓ » Convergenza di alcune formule di quadratura (legame con la convergenza uniforme). » Il caso delle formule di Newton-Cotes, di quelle basate sull'integrazione di interpolanti in nodi di Chebyshev e delle formule composte. » Esempi. » Il concetto di estrapolazione. » Estrapolazione di Richardson. » Le tabelle di estrapolazione. » Formula dei trapezi composte e metodo di Romberg. » Derivazione numerica: rapporti incrementali ed estrapolazione. » Esempi. » Argomento 7. Parte 3 (Convergenza di alcune formule di quadratura (legame con la convergenza uniforme) ↦ Esempi) [22:22] ✔ ↓ » Splines in Matlab: interp1 e spline. » alcuni esempi. » Esercizi. » Argomento 5. Parte 1. (spline lineari ↦ esercizi relativi) [42:45] (l'autrice del video e' la Dott.ssa Giulia Sarego) ✔ ↓ » Nota su fprintf ✔ ↓ » Estrapolazione. » Applicazione dell'estrapolazione alla formula dei trapezi composta. » Applicazione dell'estrapolazione alla derivazione numerica. » Argomento 8. Parte 1 (Il concetto di estrapolazione ↦ Esempi) [45:36] ✔ ↓ » Norma di vettori (definizione) » Norme "p" e infinito. » Esempi. » Norme indotte di matrici (definizione). » Raggio spettrale. » Norme indotte di matrici (esempi p=1, p=2, p=inf). » Risoluzione di sistemi lineari con termini noti perturbati. » Sistemi perturbato Ax=b e numero di condizionamento (dimostrazione caso particolare). » Un esempio. » Sistemi perturbato Ax=b e numero di condizionamento (caso generale, solo asserto). » Argomento 9. Parte 1 (Norma di vettori ↦ Sistemi perturbato Ax=b e numero di condizionamento (caso generale, solo asserto)) [67:39] ✔ ↓ » Minimi quadrati in Matlab » Argomento 6. Parte 1. (approssimazione ai minimi quadrati ↦ regressione lineare) [42:45] (l'autrice del video e' la Dott.ssa Giulia Sarego) ✔ ↓ » Sistemi lineari. Un esempio. » Matrici triangolari. » Risoluzione numerica di sistemi Ax=b con A matrice triangolare. » Risoluzione numerica di sistemi Ax=b con A matrice triangolare: complessita' computazionale. » Risoluzione di sistemi lineari (esempio matriciale). » Fattorizzazione LU. » Risoluzione di sistemi lineari e loro legame con la fattorizzazione LU. » Problematiche della fattorizzazione LU e della risoluzione dei sistemi lineari. » Risoluzioni di sistemi lineari con pivoting. » Fattorizzazione PA=LU. » Argomento 9. Parte 2 (Risoluzione di sistemi lineari (esempio matriciale) ↦ Fattorizzazione PA=LU) [65:38] ✔ ↓ » Matrici cui a priori non serve pivoting: a predominanza diagonale, simmetriche definite positive. » Pseudocodice A=LU. » Complessita' computazionale A=LU (senza dimostrazione). » Tempi di calcolo. » Fattorizzazione Cholesky e sua complessita'. » Risoluzione del sistema Ax=b, nota PA=LU. » Determinante di una matrice: complessita' Laplace vs LU. » Inversa: cofattori vs LU. » Argomento 9. Parte 3 (Matrici cui a priori non serve pivoting: a predominanza diagonale, simmetriche definite positive. ↦ Inversa: cofattori vs LU) [43:53] ✔ ↓ » Formule di quadratura in Matlab » Argomento 6. Parte 1. (formula regola dei trapezi ↦ formule composte) [51:36] (l'autrice del video e' la Dott.ssa Giulia Sarego) ✔ ↓ (1.37GB) » Metodi iterativi e metodi diretti: breve introduzione. » Splitting A=D-E-F. » Splitting A=P-N. » Metodi iterativi stazionari: x^(k+1)=Bx^(k)+c. » Splitting A=P-N: caso Jacobi. » Metodo di Jacobi (esempio matrice 3 x 3). » Splitting A=P-N: caso Gauss-Seidel. » Metodo di Gauss-Seidel (esempio matrice 3 x 3). » Argomento 9. Parte 4 (Metodi iterativi e metodi diretti: breve introduzione. ↦ Metodo di Gauss-Seidel (esempio matrice 3 x 3).) [46:17] ✔ ↓ » Convergenza di Jacobi per matrici a pred. diag. stretta (senza dimostrazione). » Metodi iterativi e loro convergenza: esempi. » Test di arresto. » Sistemi sovradeterminati e soluzione ai minimi quadrati: definizione. » Sistemi sovradeterminati e soluzione ai minimi quadrati: teorema. » Legame tra soluzione dell'approssimazione ai minimi quadrati ed equazioni normali (senza dimostrazione). » Argomento 9. Parte 5 (Convergenza di Jacobi per matrici a pred. diag. stretta (senza dimostrazione) ↦ Test di arresto.) [20:28] ✔ ↓ » Argomento 9. Parte 6 (Sistemi sovradeterminati e soluzione ai minimi quadrati: definizione ↦ Legame tra soluzione dell'approssimazione ai minimi quadrati ed equazioni normali (senza dimostrazione)) [19:04] ✔ ↓ » Matrici rettangolari e fattorizzazione Cholesky. » Risoluzione equazioni normali con fattorizzazione Cholesky. » Risoluzione equazioni normali con fattorizzazione Cholesky: un esempio. » Matrici rettangolari e fattorizzazione QR. » Risoluzione equazioni normali con fattorizzazione QR. » Risoluzione equazioni normali con fattorizzazione QR: un esempio. » Matrici rettangolari e fattorizzazione SVD. » Risoluzione equazioni normali con fattorizzazione SVD. » Risoluzione equazioni normali con fattorizzazione SVD: un esempio. » Argomento 9. Parte 7 (Matrici rettangolari e fattorizzazione Cholesky. ↦ Risoluzione equazioni normali con fattorizzazione SVD: un esempio.) [43:01] ✔ ↓ » Condizionamento di Matrici » Argomento 8. Parte 1. (Condizionamento ↦ Esempi) [43:15] (l'autrice del video e' la Dott.ssa Giulia Sarego) ✔ ↓ (1.19GB) In caso di problemi col browser, si consideri quale alternativa: » Argomento 8. Parte 1. (Condizionamento ↦ Esempi) [43:15] (l'autrice del video e' la Dott.ssa Giulia Sarego) ✔ ↓ (87.7MB) » Fattorizzazione LU. » Argomento 8. Parte 2. (Fattorizzazione LU ↦ Metodo di Gauss-Seidel) [54:51] (l'autrice del video e' la Dott.ssa Giulia Sarego) ✔ ↓ (1.41GB) In caso di problemi col browser, si consideri quale alternativa: » Argomento 8. Parte 2. (Fattorizzazione LU ↦ Metodo di Gauss-Seidel) [54:51] (l'autrice del video e' la Dott.ssa Giulia Sarego) ✔ ↓ (1.41GB) Videolezioni del tutoraggio, corso per il 2019-2020
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