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Per quanto riguarda il corso di Analisi Numerica:
Orario programmato delle lezioni:
Teoria: » lunedi' dalle 14.30 alle 16.30, 1AD100, Torre Archimede.
» martedi' dalle 14.30 alle 16.30, 1AD100, Torre Archimede.
Laboratorio: » lunedi' dalle 16.30 alle 18.30, LAB TA, Torre Archimede.
Per avere il calendario completo delle lezioni si veda la pagina web di Easystaff
Inizio delle lezioni:
Le lezioni cominceranno il giorno lunedi' 26/02/2024, dalle 14.30 alle 16.30, 1 AD 100, Torre Archimede. Di seguito dalle ore 16.30 alle ore 18.30 si terra' la prima lezione di Laboratorio.
Si ricorda che la parte di Laboratorio verra' svolta in Matlab (o in alternativa in Octave). Si suggerisce di installare Matlab (oppure Octave) prima della lezione iniziale di Laboratorio. Inoltre si chiede di installare l'ambiente Chebfun.
Di seguito citiamo alcuni video utili all'installazione di Matlab:
» Installazione Matlab (Nota sull'installazione di Matlab presso l'Universita' di Padova) [4:28];
» Installazione Matlab (Nota ulteriore sull'installazione di Matlab presso l'Universita' di Padova) [1.39];
»Installazione Chebfun: dettagli:
Alla pagina web https://www.chebfun.org/download/ si trovano le istruzioni per scaricare le routines di Chebfun (compatibile con Matlab 7.9 (R2009b)), necessarie per svolgere parte del corso.
Il metodo piu' diretto consiste nel lanciare Matlab, e digitare nella sua shell (copia e incolla):
Il docente aiutera' gli studenti con problemi nell'installare tale software.
Calendario Settimanale (previsto)
Lezione 1 di teoria:
» Introduzione al corso.
» Densita'. Legame tra densita' e migliore approssimazione (con dimostrazione).
» Teorema di approssimazione di Weierstrass.
» Teorema di Weierstrass del massimo e minimo di funzioni continue in compatto.
» Continuita' funzione distanza (senza dimostrazione).
» Esistenza dell'elemento di miglior approssimazione in sottospazi di dimensione finita (con dimostrazione).
» Teorema di equioscillazione di Chebyshev.
» Ripasso Matlab: Assegnazioni di scalari, vettori, matrici.
» Ripasso Matlab: Operazioni con vettori.
» Ripasso Matlab: Operazioni con matrici.
» Ripasso Matlab: Operazioni tra matrici e vettori.
» Ripasso Matlab: Comandi di plot.
» Soluzione di sistemi lineari, operazioni con matrici e vettori (parte 1).
» Algoritmo di Remez.
» Qualita' della miglior approssimazione in tre esempi.
» Modulo di continuita' (caso Lipschitziano e Holderiano).
» Errori di miglior approssimazione.
» Teoremi di Jackson per funzioni continue o regolari.
» Errori di miglior approssimazione per funzioni analitiche.
» Polinomi di Chebyshev e loro zeri.
» Costanti di Lebesgue come indicatori di stabilita'.
» Costanti di Lebesgue come norma di operatori di interpolazione.
» Errore di interpolazione relativamente errore di miglior approssimazione e costanti di Lebesgue.
» Alcuni asintotici di costanti di Lebesgue.
» Soluzione di sistemi lineari, operazioni con matrici e vettori (parte 2).
» Funzioni matematiche in Matlab.
» Ripasso Matlab: cicli while e for.
» Ripasso Matlab: come scrivere funzioni Matlab.
» Spazi euclidei. Alcuni esempi.
» Teorema di Pitagora (con dimostrazione).
» Teorema della Proiezione Ortogonale (con dimostrazione).
» Equazioni normali e basi ortogonali.
» Spazi euclidei separabili.
» Spazi euclidei separabili e basi ortonormali.
» Chiusura di spazi euclidei tramite elementi linearmente indipendenti.
» Teorema di Bessel/Parseval.
» Serie di Fourier con polinomi trigonometrici e polinomi trigonometrici complessi.
» Funzioni matematiche in Matlab e grafico di funzioni.
» Ripasso Matlab: Esercizio.
» Chebfun.
» Esempi di approssimazione in Chebfun e sintassi.
» Fenomeno di Runge ed interpolanti in nodi equispaziati e di Chebyshev.
» Cenni alla FFT.
» Alcune stime notevoli sulla formula dei trapezi, sui coefficienti di Fourier.
» Stime sulla approssimazione di "f" periodica e continua, in L^2_C con polinomi trigonometrici complessi.
» Lo spazio "L^2_w". Miglior approssimazione in "L^2_w".
» Funzioni peso.
» Funzioni peso classiche.
» Polinomi e "L^2_w" con w funzione peso.
» Polinomi ortogonali.
» Zeri di polinomi ortogonali (con dimostrazione).
» Formula di ricorrenza a tre termini.
» Introduzione alla quadratura numerica.
» Formule interpolatorie.
» Grado di precisione.
» Legame tra formule interpolatorie e grado di precisione.
» Teorema caratterizzazione formule interpolatorie.
» Formule di Newton-Cotes.
» Regola del trapezio e di Cavalieri-Simpson.
» Formule composte.
» Formule dei trapezi composte.
» Errore e caso funzioni periodiche (teorema di Eulero-Mac Laurin).
» Formula di Cavalieri-Simpson composta.
» Miglioramento delle formule di quadratura di Newton-Cotes (composte), in termini di grado di precisione e illimitatezza degli intervalli.
» Formule gaussiane.
» Teorema di esistenza e unicita' delle formule gaussiane (asserto).
» Teorema di esistenza e unicita' delle formule gaussiane (dimostrazione).
» Errori formule Newton-Cotes.
» Errori formule gaussiane.
» Stabilita' delle formule di quadratura.
» Alcuni corollari (formule a pesi positivi e formule gaussiane).
» Metodi iterativi. Introduzione.
» Sistemi lineari (considerazioni).
» Splitting di matrice.
» Metodi iterativi stazionari.
» Metodo di Jacobi.
» Metodo di Gauss-Seidel.
» SOR.
» Metodi di Richardson.
» Legame tra metodi di Richardson stazionari e metodi iterativi stazionari.
» Norme di matrici e loro proprieta'.
» Alcuni lemmi sulle norme di matrici e raggio spettrale.
» Teorema di convergenza di un metodo iterativo stazionario (asserto e dimostrazione).
» Convergenza del metodo di Jacobi e Gauss-Seidel per matrici tridiagonali.
» Convergenza del metodo di Jacobi e Gauss-Seidel per matrici a predominanza diagonale.
» Teorema di Kahan (condizione convergenza SOR).
» Convergenza dei metodi SOR per matrici simmetriche, definite positive.
» Test dello step. (e sua breve analisi).
» Test del residuo. (e sua breve analisi).
» Test del residuo (e sua breve analisi).
» Metodi del gradiente.
» Metodo del gradiente classico.
» Stima dell'errore del gradiente classico.
» Metodo del gradiente coniugato.
» Spazi di Krylov e gradiente coniugato.
» Stima dell'errore del gradiente coniugato.
» Teoremi di localizzazione di Gerschgorin (con esempi I).
» Metodo delle potenze inverse.
» Metodo delle potenze inverse con shift.
» Metodo QR.
» Convergenza QR.
» Implementazione di QR con matrici di Hessenberg.
» Problema di Cauchy.
» Metodi di Eulero esplicito.
» Metodo di Eulero implicito.
» Linear Multistep methods (LMM).
» Metodi per integrazione.
» Fino alla parte di integrazione numerica inclusa).
Il primo compitino si svolgera' il giorno lunedi' 6 maggio 2024 alle ore 14.30, in aula 1 AD100. Gli studenti interessati devono iscriversi via uniweb alla prova parziale (chiusura iscrizioni: 5 maggio 2024).
Lezione 17 di teoria:
» Metodi di tipo Adams-Bashforth.
» Metodi di tipo Adams-Moulton.
» Consistenza.
» Consistenza e LMM.
» Stabilita'.
» Root condition.
» Convergenza.
» Convergenza e suo legame con consistenza e stabilita'.
» Convergenza LMM.
» A-Stabilita': problema test.
» Problema test.
» Problemi stiff.
» Regioni di stabilita' di Eulero esplicito, implicito e Crank-Nicolson.
» Barriere di Dahlquist.
» Problema di Poisson univariato con metodi alle differenze.
» Soluzione dell'equazione di Poisson univariata mediante sistemi lineari.
» Stima dell'errore della soluzione numerica (norma 2 e infinito).
» Autovalori e condizionamento della matrice di Poisson (caso univariato, esempio).
» Problema di Poisson sul quadrato con metodo alle differenze centrali.
» Soluzione dell'equazione di Poisson sul quadrato mediante sistemi lineari.
» Stima dell'errore della soluzione numerica.
» Equazione del calore.
» Metodo delle linee.
» Alcune stime (autovalori, condizionamento e errori).
» Equazione del calore e test di stabilita'.
» Stabilita' Eulero esplicito (asserto e note).
» Stabilita' Eulero esplicito (traccia della dimostrazione).
Il file Lista degli esercizi [PDF] contiene gli esercizi che gli studenti devono svolgere personalmente.
Il file [PDF] contiene il registro ufficiale del corso svolto nell'ultimo accademico.
Qualora il corso sia svolto in maniera standard:
teoria: » lunedi': sede di Matematica, via Trieste 63 (Torre Archimede), 1AD100, dalle 14.30 alle 16.00.
» martedi': sede di Matematica, via Trieste 63 (Torre Archimede), 1AD100, dalle 14.30 alle 16.00.
laboratorio: » lunedi': sede di Matematica, via Trieste 63 (Torre Archimede), Laboratorio Informatico LABTA (secondo piano), dalle 16.30 alle 18.30.
Qualora il corso sia svolto in maniera telematica, il docente fornira' le lezioni per mezzo di video che sono reperibili in questa pagina web (vedasi sezione: Calendario lezioni, materiale didattico, meeting Zoom).
Approssimazione e interpolazione con polinomi algebrici: densita' ed errore di miglior approssimazione; Teorema di Weierstrass.
Laboratorio: Costanti di Lebesgue in Matlab.
Approssimazione e interpolazione con polinomi algebrici. Errore di miglior approssimazione. Teoremi di Jackson. Polinomi di Chebyshev. Stabilita' e costanti di Lebesgue.
Migliore approssimazione in spazi euclidei. Teorema di Bessel.
Cenno alle serie di Fourier in R e C. Polinomi ortogonali. Spazio L^2_w.
Funzioni peso. Ricorsione a tre termini. Proprieta' degli zeri di polinomi ortogonali.
Laboratorio: Calcolo dell'espansione di funzioni continue e periodiche con polinomi trigonometrici complessi.
» Teoria: Argomento 2. Parte 1 (Spazi Euclidei ↦ Spazi Separabili/BasiOrtogonali) [33:59];
» Teoria: Argomento 2. Parte 2 (Chiusura di spazi euclidei tramite elementi linearmente indipendenti ↦ Serie di Fourier con polinomi trigonometrici e polinomi trigonometrici complessi) [41:37];
» Teoria: Argomento 2. Parte 3 (Cenni alla FFT ↦ Stime sulla approssimazione di "f" periodica e continua, in L^2_C con polinomi trigonometrici complessi) [33:13]
Chebfun ed esperimenti in teoria dell'approssimazione
Lezioni:
» Chebfun (Installazione) [1.39];
» Laboratorio: Parte 1 (Introduzione a Chebfun ↦ Esercizi per casa) [39:25];
» Laboratorio: Parte 2 (Confronto di Remez e interpolazione in nodi di Chebyshev per varie funzioni ↦ Confronti con alcune stime teoriche) [17:51];
» Laboratorio: Argomento 1. Parte 3 (FFT e Chebfun. ↦) [32:07]
V. Totik,
Orthogonal polynomials, Surveys in Approximation Theory, 1 (2005), 70-125. [Per esperti]
S.Khrushchev,
Orthogonal Polynomials and Continued Fractions, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 122. [Per esperti, sul legame tra polinomi ortogonali e frazioni continue. Per formule gaussiane si veda p.300]
Chebfun.
» Alla pagina web https://www.chebfun.org/download/ si trovano le istruzioni per scaricare le routines di Chebfun (compatibile con Matlab 7.9 (R2009b)).
Il metodo piu' diretto consiste nel lanciare Matlab, e digitare nella sua shell:
unzip('https://github.com/chebfun/chebfun/archive/master.zip')
movefile('chebfun-master', 'chebfun'), addpath(fullfile(cd,'chebfun')), savepath
» Teoria: Argomento 4. Parte 1 (Introduzione alla quadratura numerica ↦ Legame tra formule interpolatorie e grado di precisione) [14:06] » Teoria: Argomento 4. Parte 2 (Formule di Newton-Cotes ↦ Formula di Cavalieri-Simpson composta) [29:43] » Teoria: Argomento 4. Parte 3 (Formula Gaussiana ↦ Teorema di esistenza e unicita' delle formule gaussiane (con dimostrazione)) [31:56] » Teoria: Argomento 4. Parte 4 (Errori formule Newton-Cotes ↦ Alcune considerazioni sul teorema di Stieltjes) [46:45] » Teoria: Argomento 4. Parte 5 (Teorema di Polya-Steklov (con dimostrazione) ↦ Alcuni corollari (formule a pesi positivi e formule gaussiane)) [34:22]
Algebra lineare numerica: metodi SOR e di Richardson.
Teorema di convergenza di un metodo iterativo stazionario. Teorema di Hensel (caso generale). Alcuni teoremi di convergenza di Jacobi, Gauss-Seidel, SOR. Test di Arresto.
Laboratorio: Esercizi sui metodi iterativi stazionari.
Metodi di discesa: Gradiente classico e Gradiente coniugato.
Localizzazione di autovalori: alcuni teoremi di Gershgorin.
Metodo delle potenze (dirette e inverse). Convergenza del metodo delle potenze. Metodo QR.
Laboratorio: Esercizi sul calcolo degli autovalori/autovettori di matrici.
» Teoria: Argomento 5. Parte 1 (Metodi iterativi. Introduzione ↦ Metodo di Jacobi) [22:47] » Teoria: Argomento 5. Parte 2 (Metodo di Jacobi: un esempio su una matrice 3 x 3. ↦ Norme di matrici e loro proprieta') [42:50] » Teoria: Argomento 5. Parte 3 (Teorema di convergenza di un metodo iterativo stazionario, caso generale (con dimostrazione) ↦ Convergenza per matrici simmetriche, definite positive [45:05] ↓ » Teoria: Argomento 5. Parte 4 (Test dello step ↦ Stima dell'errore del gradiente coniugato) [59:30] ↓
Autovalori » Teoria: Argomento 6. Parte 1 (Teoremi di localizzazione di Gerschgorin (con esempi) ↦ Metodo delle potenze inverse con shift) [47:15]
↓ » Teoria: Argomento 6. Parte 2 (Metodo QR ↦ Implementazione di QR con matrici di Hessenberg) [20:29]
↓
G. Golub, A. van der Vorst, Eigenvalue computation in the 20th century, Journal of Computational and Applied Mathematics
Volume 123, Issues 1-2, 1 November 2000, Pages 35-65.
Argomenti.
Metodo di Eulero esplicito ed implicito. Consistenza.
» Si osserva che in virtu' dell'emergenza sanitaria, al momento il docente non e' in grado di confermare il fatto che gli esami sono in modalita' standard.
Si prevede la possibilita' di superare l'esame di teoria mediante due compitini (avra' luogo dopo lo svolgimento della parte di quadratura numerica e la data verra' stabilita non appena sara' finito tale argomento).
Si osservi che date e orari sono indicativi e possono essere modificati.
Modalita' esame telematica
Dettagli
L'esame consta di due parti. In particolare, la parte di laboratorio puo' essere svolta ad ogni appello, al termine di quella di teoria. Entrambe le prove richiedono la registrazione alle relative liste Uniweb.
Scritto:
vengono richieste alcune domande di teoria cui lo studente deve rispondere.
Parte di Laboratorio:
» Gli orali di Matlab verranno svolti subito dopo gli scritti di Analisi Numerica (ovvero circa un'ora dall'inizio dell'esame scritto).
» Per coloro che intendano fare l'orale di Matlab, si ricorda che non serve iscriversi via Uniweb (come descritto nella sezione Laboratorio di questa pagina web, introdotta ad inizio corso).
» E' una prova breve, che dura usualmente 10 minuti in cui vengono chieste delucidazioni sui codici svolti dagli studenti;
» Bisogna portare una cartellina con:
» Stampa dei listati dei programmi svolti dallo studente durante il
corso (non serve portare le routine chiamate dai propri codici, ma eseguite dal docente);
» Stampa dei listati grafici degli esperimenti relativi ai programmi
svolti dallo studente durante il corso.
Modalita' esame Standard (non utilizzabile per i compitini e l'appello)
Dettagli
L'esame consiste in due parti.
Scritto:
vengono richieste alcune domande di teoria cui lo studente deve rispondere.
Parte di Laboratorio:
» Gli orali di Matlab verranno svolti subito dopo gli scritti di Analisi Numerica (ovvero circa un'ora dall'inizio dell'esame scritto).
» L'esame di Teoria e di Laboratorio possono essere eseguiti in sessioni diverse (ad esempio la teoria al secondo appello e il laboratorio al quarto appello).
» Per coloro che intendano fare l'orale di Matlab, si ricorda che non serve iscriversi via Uniweb (come descritto nella sezione Laboratorio di questa pagina web, introdotta ad inizio corso).
» E' una prova breve, che dura usualmente 10 minuti in cui vengono chieste delucidazioni sui codici svolti dagli studenti;
» Bisogna portare una cartellina con:
» Stampa dei listati dei programmi svolti dallo studente durante il
corso (non serve portare le routine chiamate dai propri codici, ma eseguite dal docente);
» Stampa dei listati grafici degli esperimenti relativi ai programmi
svolti dallo studente durante il corso.
Per quanto riguarda i due compitini relativi alla prova di teoria,
» supposto che il voto di ognuno dei due compitini sia sufficiente, avra' quale voto della prova di teoria la media dei due;
» se uno studente non ha svolto i compitini, o solo uno dei due, dovra' passare la prova di teoria ad un appello.
L'esame ha voto positivo se e solo se sia la prova di teoria che quella di laboratorio hanno avuto esito positivo.
Di seguito il numero di verbali caricati, cioe' il numero di studenti che hanno sostenuto un voto positivo nel corso (da Uniweb).
2022-23: 40
2021-22: 47
2020-21: 32
2019-20: 27
2018-19: 36
2017-18: 40
2016-17: 23
2015-16: 32
2014-15: 39
2013-14: 23
2012-13: 25
2011-12: 45
Altre informazioni
Gli studenti sono invitati ad aprire un'account prima di partecipare al
corso.
Qualora non ne dispongano, sono tenuti a contattare i tecnici nella sede
dei Laboratori in Torre Archimede, per aprirne uno.
Si ricorda che per gli studenti iscritti regolarmente  disponibile la licenza MATLAB Campus, che prevede il download gratuito del programma MATLAB consentendo ad ogni studente di installare Matlab sul proprio computer personale.
Si ricorda che per gli studenti iscritti regolarmente e'Â disponibile la licenza MATLAB Campus, che prevede il download gratuito del programma MATLAB, consentendo ad ogni studente di installare Matlab sul proprio computer personale.
Di seguito citiamo alcuni video utili all'installazione di Matlab:
» Installazione Matlab (Nota sull'installazione di Matlab presso l'Universita' di Padova) [4:28] (corretto link: ore 10.48 del 16/03/20);
» Installazione Matlab (Nota ulteriore sull'installazione di Matlab presso l'Universita' di Padova) [1.39];
Octave
Se si e' interessati ad un software freeware estremamente compatibile con Matlab, si consideri:
Octave
Chebfun
» Alla pagina web https://www.chebfun.org/download/ si trovano le istruzioni per scaricare le routines di Chebfun (compatibile con Matlab 7.9 (R2009b)).
Il metodo piu' diretto consiste nel lanciare Matlab, e digitare nella sua shell:
unzip('https://github.com/chebfun/chebfun/archive/master.zip')
movefile('chebfun-master', 'chebfun'), addpath(fullfile(cd,'chebfun')), savepath
Corso singolo: e' possibile iscriversi all'insegnamento come corso singolo;
Corso a libera scelta: e' possibile utilizzare l'insegnamento come corso a libera scelta;
Corso per studenti Erasmus: Gli studenti Erasmus+ o di altri programmi di mobilita' possono frequentare l'insegnamento.
Durante il corso:
» Il ricevimento viene effettuato via Zoom, il lunedi' dalle 10.45 alle 14.15 e il martedi' dalle 10.30 alle 14.15, previa prenotazione col docente via email.
Terminato il corso:
» si contatti il docente per posta elettronica.
Numero di telefono: 049-8271350
Indirizzo: Torre Archimede, stanza 426, Via Trieste 63,
35121 Padova
