Forme bilineari: forme bilineari simmetriche e antisimmetriche, forme quadratiche. Forme bilineari simmetriche definite positive, prodotti scalari. Spazi vettoriali euclidei. Matrici associate alle forme bilineari. La norma di un vettore e le sue principali proprietà, l'angolo fra due vettori. Vettori ortogonali. Basi ortogonali e ortonormali. Il procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Classificazione dei prodotti scalari. Ortogonalità tra sottospazi. Il complemento ortogonale di un sottospazio. Applicazioni ortogonali (isometrie) e loro principali proprietà. Matrici ortogonali. Il gruppo ortogonale O(n). Il Teorema di Sylvester. La classificazione reale e complessa delle forme bilineari simmetriche.
Diagonalizzabilità degli endomorfismi. Autovalori, autovettori, autospazi e loro proprietà. Determinazione degli autovalori, polinomio caratteristico, molteplicità algebrica e geometrica. Teoremi di diagonalizzabilità. Diagonalizzabilità ortogonale. Caratterizzazione delle isometrie del piano e dello spazio tridimensionale. Operatori autoaggiunti. Matrici degli operatori autoaggiunti. Proprietà degli autovalori e autovettori degli operatori autoaggiunti. Il Teorema Spettrale.
Spazi affini. Sottospazi affini. Riferimenti affini. Cambiamenti di riferimento. Applicazioni affini. Il gruppo delle affinità. Rappresentazioni di sottospazi affini. Parallelismo e intersezioni di sottospazi. Piani affini, rette nel piano, fasci di rette. Spazi affini tridimensionali, rette e piani, fasci di piani. Spazi euclidei. Riferimenti cartesiani. Distanze e angoli. Aree e volumi.
L'esame consiste in una prova scritta seguita da una prova orale.
