Corso di Teoria dell'Approssimazione e Applicazioni "Approssimazione polinomiale multivariata ed introduzione alle funzioni radiali di base e metodi kernel"

Le lezioni del corso di Teoria dell'Approssimazione e Applicazioni, tenute dal prof. Stefano De Marchi saranno svolte Teoria: lunedì 16:30-18:15, Aula 2AB45 Teoria: martedì 16:30-18:15, Aula 2AB45 Laboratorio: le esercitazioni si terranno nel NumLab, IV piano, il giovedì 16.30-18:15. nei giorni di seguito indicati Marzo 2015 2 , 3, 9, 10, 23, 24, 30, 31: teoria 12, 26: laboratorio Aprile 2015 13, 14, 20, 21, 27, 28: teoria 16, 23: laboratorio Maggio 2015 4(*), 5, 11, 12, 18(***), 19, 25, 26: teoria 7(**), 14, 21, 28: laboratorio Note (*) La lezione del 4 maggio è stata sospesa. (**) Il laboratorio del 7 maggio è stato tenuto dal dott. R. Cavoretto dell' Università di Torino. (***) Lezione sospesa per ordine del Presidente del CCS per consentire la partecipazione all'iniziativa "Matematici al lavoro". Giugno 2015 8, 9: teoria 4: laboratorio Diario delle Lezioni 2 Marzo 2015. Introduzione al corso. Richiami sull'interpolazione polinomiale nel caso unidimensionale. Analisi dell' errore. Costante di Lebesgue e migliore approssimazione polinomiale. 3 Marzo 2015. Modulo di continuità e sue proprietà. Approssimazione di Bernstein. Teorema di Jackson. Caratterizzarione della migliore approssimazione polinomiale. Algoritmo di Remez. 9 Marzo 2015. Costante di Lebesgue: definizione, proprietà e calcolo. Comportamento della costante di Lebesgue su diversi insiemi di nodi: equispaziati, Chebyshev, Chebyshev-estesi, Fekete, Leja. Nodi ottimali. 10 Marzo 2015. Problema dell'interpolazione multivariata. Teorema di Haar-Mairhuber-Curtis. Unisolvenza. Metrica dell'arcocoseno e metrica di Dubiner. 23 Marzo 2015. Punti di Morrow-Patterson, punti estesi di MP e punti di Padova. Punti di Padova: costruzione e curva generatrice. 24 Marzo 2015. Costruzione dei punti di Padova, dell' interpolante e della formuala di cubatura. Aspetti implementativi ed esempi. 30 Marzo 2015. Mesh Ammissibili e Debolmente Amminisibili. Proprietà ed esempi. Punti di Fekete Approssimati e di Leja Discreti. Algoritmo di estrazione. 31 Marzo 2015. Esempi di mesh debolmente ammissibili ed ammissibili nel 2d e 3d. Applicazioni dei punti di Fekete e Leja approssimati all'interpolazione, cubatura e minimi quadrati 13 Aprile 2015. Splines cubiche e cubiche naturali come base di partenza per costruire le funzioni radiali di base (RBF). 14 Aprile 2015. Interpolazione di dati sparsi con RBF. Punti di Halton e loro costruzione. Matrice delle distanze e sua invertibilità. Root mean square error e mesh-size. Ruolo del parametro di forma. 20 Aprile 2015. Funzioni (strettamente) definite positive e loro caratterizzazioni in termini di trasformate di Fourier e integrali. Funzioni (strettamente) definite positive e radiali. 21 Aprile 2015. Esempi di funzioni (strettamente) definite positive e radiali: gaussiane e loro generalizzazioni, multiquadriche inverse, potenze troncate, potenziali. Funzioni completamente monotone e monotone multiple. 27 Aprile 2015. Motivazione per l'aggiunta di basi polinomiali. Aggiunta di basi polinomili. Introduzione dei vincoli aggiuntivi e sistema aumentato. Richiami su punti unisolventi. Definizione di funzioni (strettamente) definite positive; invertibilità del sistema aumentato per funzioni SCDP. 28 Aprile 2015. Richiami su funzioni completamente monotone (CM) e caratterizzazione delle funzioni (strettamente) condizionatamente definite positive (SCDP) in termini di funzioni CM. Esempi di funzioni SCDP: multiquadriche generalizzate, potenze radiali, thin plate splines. Richiami su funzioni monotone multiple (MM) e caratterizzazione delle funzioni SCDP in termini di funzioni MM. Proprietà delle funzioni SCDP di ordine 1: invertibilità della matrice del kernel e proprietà dei suoi autovalori, invarianza per somma di costanti. 5 Maggio 2015. Operatori de Monte e de descent per "even dimension walk". Funzioni radiali a supporto compatto di Wendland, Wu, Gneiting, Euclide e Buhmann. Costruzione e relative regolarità. 11 Maggio 2015. RKHS: definizione e proprietà,. Funzioni cardinali e funzione potenza per le stime d'errore. Alcune stime d'errore in funzione sia della funzione potenza che della fill-distance. 12 Maggio 2015. Ancora sulle stime d'errore. Stabilità vs efficienza: principio del trade off. Analisi dell'autovalore massimo e minimo. Stabilità al variare del parametro di forma. Algoritmi: trial and error, funzione potenza e cross-validation. 18 Maggio 2015 Lezione sospesa per ordine del presidente del CCS . 19 Maggio 2015. Principi di ottimalità delle interpolazioni RBF su spazi nativi. Problema dei minimi quadrati e dei minimi quadrati regolarizzati. Approssimazione RBF quando centri e data-sites non coincidono. 25 Maggio 2015. Minimi quadrati pesati (Moving Least Squares). Algoritmi di Knot Insertion and Knot Removal. Approccio di Backus-Gilbert con funzioni generatrici e precisione polinomiale. 26 Maggio 2015. Equivalenza dell'approccio BG con MLS, ovvero l'apprimante e' la stessa. Metodo di Shepard. Esempi di funzioni generatrici in dimensione s=1,2 e grado polinomiale d=0,1,2. Breve discussione dell'errore di approssimazione. 8 Giugno 2015. Ancor sull'errore di approssimazione dei MLS. Metodi di Shepard di ordine superiore. Condizionamento e cambio di base. Interpolazione generalizzata di Hermite. Metodo non simmetrico di Kansa. 9 Giugno 2015. Metodo simmetrico di Fasshauer. Metodo di Galerkin, multilivello e multilivello annidato. Idee per il metodi pseudo-spettrali applicati alla soluzione di PDEs con RBF. Esercitazioni di Laboratorio 12 Marzo 2015. Esercitazione di Laboratorio del 12 Marzo 2015. 26 Marzo 2015. Esercitazione di Laboratorio del 26 Marzo 2015. Uno script per calcolare i punti di Morrow-Patterson. 16 Aprile 2015. Esercitazione di Laboratorio del 16 Aprile 2015. 23 Aprile 2015. Esercitazione di Laboratorio del 23 Aprile 2015. 7 Maggio 2015. Slides su PU del dott. Cavoretto ed esercitazione proposta. 14 Maggio 2015. Esercitazione di Laboratorio del 14 Maggio 2015. 21 Maggio 2015. Esercitazione di Laboratorio del 21 Maggio 2015. 28 Maggio 2015. Esercitazione di Laboratorio del 28 Maggio 2015. Esami L'esame consiste in uno scritto e un orale. Date ed aule 25/06/15 9:30-14:00 2AB45. testo esame 16/07/15 9:30-14:00 2AB45. testo esame 01/09/15 14:30-18:00 2AB40 18/09/15 15:00-18:00 2AB45 Materiale didattico Stefano De Marchi: Lectures on multivariate polynomial interpolation Stefano De Marchi: Four lectures on radial basis functions Gregory E. Fasshauer: Meshfree Approximation Methods with MATLAB (Ultimo aggiornamento: 9 luglio 2015).