Le lezioni del corso di
Istituzioni di Analisi Matematica 1 (B), tenute dal prof. Stefano De Marchi,
avranno il seguente calendario
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- Ottobre 2011
3, 4, 5, 10, 11, 12, 17, 18, 19, 24, 25, 26 : lezioni in aula SC140 (Complesso S. Caterina)
- Novembre 2011
2, 7, 8, 9, 14, 15, 16, 21, 22, 23, 28, 29, 30 : lezioni in aula SC140
- Dicembre 2011
5, 6, 7 : lezioni in aula SC140
Nota bene: ogni lezione consiste di 2h accademiche di 45 minuti.
Gli orari delle lezioni sono: lunedi e mercoledi' 8.45-10.30 circa, martedi': 10.45-12.30 circa.
Orario di ricevimento
Giovedi' ore 14-16 presso lo studio 424 a Torre Archimede, di Via Trieste 63.
Diario delle Lezioni
- 3 ottobre 2011. Introduzione al corso. Richiami di insiemistica. Unione, intersezione e differenza d'insiemi. Insiemi numerici (naturali, interi
e razionali). Operazioni di addizione e moltiplicazione. Campo commutativo. Ordinamento totale nei campi commutatitivi.
- 4 ottobre 2011. Ulteriori proprieta' dei razionali. Radice di 2 non e' razionale (dimostrazione fatta). Allineamenti decimali. I numeri reali come allineamento decimale
proprio. Intervalli finiti/infiniti. Maggioranti/minoranti, massimo/minimo, estremo superiore/inferiore. Esempi. Definizione di funzione e grafico di una funzione.
- 5 ottobre 2011. Funzioni simmetriche, pari, dispari. Funzioni monotone crescenti/decrescenti. Funzione parte intera, parte decimale (o frazionaria, o mantissa).
Funzione traslazione e cambio di scala. Funzione di Heaviside.
- 10 ottobre 2011. Riflessioni. Funzione y=x^alpha. Funzioni polinomiali e razionali. Esempio: ricorrenza dei polinomi di Chebyshev.
Funzioni esponenziale (y=a^x) e funzione logaritmo (log_a(x)): definizione e proprieta'. Logoritmo naturale e cambio di base.
- 11 ottobre 2011. Funzioni trigonometriche e loro inverse. Funzioni secante cosecante e cotangente. Curve parametriche ed alcuni esempi
interessante quali la ciclode. Intorni di un punto. Limite di una successione: definizione.
- 12 ottobre 2011. Successioni convergenti: criterio di monotonia e limitatezza. Divergenza di una successione. Successioni a segno
alterno. Esempi ed esercizi.
- 17 ottobre 2011. Sottosuccessioni. Limiti di funzioni: all'infinito, al finito. Continuita': esempi.
- 18 ottobre 2011. Ancora sulla continuita' di funzioni. Punti di discontinuita'. Discontinuita' eliminabilie e prolungamento per continuita'. Limite
sinistro e destro, continuita' a sinistra e a destra. Discontinuita' di prima specie e salto. Discontinuita' di second specie. Esempi di funzione continue e punti
di discontinuita'.
- 19 ottobre 2011. Teoremi sui limiti: di premanenza del segno, del confronto e dei 2 carabinieri. Esempi.
Forme indeterminate. Esempi. Limite di sinx/x per x->0. Teorema di sostituzione per funzioni composte. Esempi.
- 24 ottobre 2011. Limiti notevoli: limite a +infinito e -infinito di h(x)=(1+1/x)^x (dimostrazione richiesta) e sue varianti.
Limiti a zero di h(x)=(1+x)^(1/x), h(x)=ln(1+x)/x, h(x)=(e^x-1)/x.
- 25 ottobre 2011. Esercizi sul calcolo di alcuni limiti, usando i limiti fondamentali. Proprieta' delle funzioni continue: esistenza di uno zero se la funzione
assume valori di segno opposto in un intervallo e calcolo col metodo di bisezione, alcuni corollari. Ricerca degli zeri di cos(x)=x.
- 26 ottobre 2011. Teorema dei valori intermedi per funzioni continue. Teorema di Weierstrass. Ancora esercizi sui limiti.
- 2 novembre 2011. Funzioni "o piccolo" e "O grande" di altre, simboli di Landau. Caratterizzazione di una funzione continua in termini di o piccolo.
Algebra degli "o piccoli" . Limiti fondamentali in termini di "o piccolo". Teorema sul prodotto e rapporto di funzioni equivalenti in temini di o piccolo. Esempi.
- 7 novembre 2011. Funzione infinitesime ed infinite in termini di o piccolo. Ordinamenti di funzioni infinitesime ed infinite, mediante l'uso di limiti fondamentali: esempi
ed esercizi.
- 8 novembre 2011. Infinitesimi e infiniti campione. Ordine di infinitesimo/infinito. Parte principale. Esempi vari. Asintoti: obliqui, orizzontali e verticali. Esempi.
- 9 novembre 2011. Esercizi su studio asintoti di funzioni. Ancora sulle successioni numeriche: teorema di limitatezza di successioni convergenti, teorema di
Bolzano-Weierstrass. Successione geometrica rivisitata. Criterio del rapporto per la convergenza di successioni. Esempi.
- 14 novembre 2011. Esercizi su successioni. Cenni al concetto di serie numerica. Funzioni Lipschitziane e uniformemente contine. Esempi ed esercizi.
- 15 novembre 2011. Funzioni uniformemente continue: proprietà. Teorema di Heine-Cantor (solo enunciato). Esempi. Funzioni iperboliche (sinh e cosh) e loro inverse
(settsinh e settcosh). Grafici e proprietà fondamentale. Preliminari sul calcolo delle derivate.
- 16 novembre 2011. Definizione di derivata in un punto e di derivata di una funzione su un intervallo. Una funzione derivabile e' continua, ma non vale il viceversa.
Calcolo diretto della derivata di funzioni elementari. Derivata della somma (differenza) di 2 e piu' funzioni.
- 21 novembre 2011. Derivata del prodotto di funzioni e del rapporto di funzioni. Derivata della funzione composta e derivata della funzione inversa.
Esempi ed esercizi.
- 22 novembre 2011. Esercizi sul calcolo di derivate mediante le varie regole di derivazione. Esercizi su continuita' e derivabilita' di funzioni.
- 23 novembre 2011. Derivata della funzione implicita. Punti di non derivabilita': punti angolosi, a tangente verticale e di cuspide. Esempi. Definizione di punto di massimo(minimo)
locale e globale.
- 28 novembre 2011. Punti critici. Teorema di Fermat (un punto critico e' un punto in cui la derivata si annulla). Il veceversa pero' non vale (ex. f(x)=x^3). Teorema di Rolle
(se f(a)=f(b) allora esiste almeno un punto interno in cui la derivata si annulla). Esempi.
- 29 novembre 2011. Teorema di Cauchy e di Lagrange (o del valor medio), Esempi. Monotonia con lo studio del segno della derivata.
Convessita' e concavita'. Punti di flesso.
- 30 novembre 2011. Studio di funzione: esempi. Teorema di de l'Hopital e sue applicazioni al calcolo di limiti e di ordini di infinito e infinitesimo. Esempi
- 5 dicembre 2011. Polinomio di Taylor con resto di Peano e di Lagrange. Esempi di sviluppi di Taylor: exp(x), sin(x), cos(x), log(x) (e log(1+x)), cosh(x).
Applicazione al calcolo di limiti.
- 6 dicembre 2011. Polinomio di Taylor di somma e differenza di funzioni, del prodotto e della divisione. Esercizi sui limiti mediante sviluppi
asintotici.
- 7 dicembre 2011. Esercizi riassuntivi su continuita' e studio di funzione.
Appelli
Testi adottati
Vedasi il sistema Iride a Statistica al seguente link
dove si trova anche il link per esercizi online .
(aggiornamento al 15 gennaio 2012).
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