TAA 2013
Corso di Teoria dell'Approssimazione e Applicazioni
"Introduzione alle funzioni radiali di base e metodi kernel"


Le lezioni del corso di Teoria dell'Approssimazione e Applicazioni, tenute dal prof. Stefano De Marchi saranno svolte

  • Teoria: mercoledì 9:30-11:30, Aula 2AB45
  • Teoria: giovedì 9:30-11:30, Aula 2AB45
  • Labor.: Laboratorio TA, II piano (vedi orari per ogni mese)

    nei giorni di seguito indicati

  • Marzo 2013
    6 (*), 7(*), 13, 14, 20, 21, 27, 28: lezioni di teoria (aula 2AB45)
    19, 26: laboratorio (Lab TA, II piano, ore 11:00-13:00)
    (*) queste lezioni saranno tenute dal Prof. A. Iske dell'Università di Amburgo

  • Aprile 2013
    4, 10, 11, 17, 24: lezione di teoria
    5: laboratorio (ore 14:00-16:00)
    18: laboratorio (ore 9:30-11:30)

  • Maggio 2013
    15, 16, 22, 29 : lezione di teoria
    2, 23,30: laboratorio (ore 9:30-11:30)

    Corso integrativo su "Kernel-methods for image reconstruction" dal 6 al 10 maggio 2013 (**)
    6, 7: ore 11:30-13:30, aula 1BC50
    8, 9: ore 9:30-11:30, aula 2AB45
    10 : ore 11:30-13:30, aula 1BC45
    (**) Il corso è tenuto dal Prof. A. Iske dell'Università di Amburgo

  • Giugno 2013
    5, 6 (***), 12 giugno: lezione di teoria
    10: laboratorio TA (ore 14:30-16:30)
    (***) la lezione sarà in aula 1BC45 dalle 9:30 alle 11:30


      Diario delle Lezioni

    • 6 marzo 2013. Cubic spline interpolation. Basis properties. Problem formulation and side conditions. Kernel-based interpolation from multivariate scattered data. Mairhuber's theorem
    • 7 marzo 2013. Reproducing Kernel Hilber Spaces of positive definite functions: construction and characterization. Optimality of kernel-based interpolation schemes: Madych-Nelson theorem.
    • 13 marzo 2013. Il problema generalizzato dell'interpolazione. Unisolvenza. Teorema di Haar. Sequenze di Van der Corput e punti di Halton. Interpolazione in dimensione maggiore di 1 con traslate della funzione distanza.
    • 14 marzo 2013. Interpolazione RBF con funzione distanza: esistenza della soluzione e aspetti implementativi in Matlab. Matrici e funzioni definite positive. Teorema di carattarizzazione integrale di Bochner.
    • 20 marzo 2013. Proprieta' delle funzioni (strettamente) definite positive ((S)DP). Funzioni strettamente definite positive (SDP) e radiali: teoremi di caratterizzazione integrale. Esempi di funzioni SDP: gaussiana, gaussiane di Laguerre.
    • 21 marzo 2013. Esempi funzioni (S)DP e radiali: Poisson, multiquadriche generalizzate, Matern, potenziali di Whittaker, potenza troncata e integrazione di un kernel. Funzioni completamente monotone e k-monotone. Loro proprieta' e rappresentazione integrale. Legame con RBF (strettamente) definite positive.
    • 27 marzo 2013. Problema d'interpolazione con esattezza su spazi polinomiali. Funzioni condizionatamente definite positive (CPD) di ordine 1. Teorema di esistenza e unicita' della soluzione. Funzioni CPD di ordine m.
    • 28 marzo 2013. Esempi di funzioni SCDP: multiquadriche generalizzate, potenze e Thin Plate Splines. Teoremi di caratterizzazione di funzioni CDP e radiali per funzioni completamente monotone e monotone multiple. Teorema sugli autovalori di funzioni CDP di ordine 1.
    • 4 aprile 2013. Ancora sulle funzioni CDP di ordine 1. Operatori I_1 e D: "dimension walks". Funzioni a supporto compatto di Wendland: costruzione e proprietà. Funzioni a supporto compatto di Wu e oscillanti di Gneiting. Funzioni "Euclide's hat" e di Buhmann.
    • 10 aprile 2013.Reproducing Kernel Hilbert Spaces (RKHS): definizione e proprietà. Un RK è definito positivo. Spazio nativo per alcune RBF. Funzioni cardinali. Funzione potenza e sue forme alternative.
    • 11 aprile 2013.Stime d'errore basate su funzione potenza e fill-distance, per funzioni appartenenti allo spazio nativo. Stabilita': stime superiori per autovalore massimo e dal basso per l'autovalore minimo.
    • 17 aprile 2013.Raffinamento di stime d'errore nel caso non-stazionario per funzioni appartenenti allo spazio nativo, infinitamente derivabili e con derivabilita' finita. Stime per funzioni non appartenenti allo spazio nativo. Problemi legati al caso stazionario al variare del parametro di forma.
    • 24 aprile 2013.Ricerca del parametro di forma ottimale per interpolazioni RBF con i seguenti metodi: trial and error, power function, Leave One Out Cross-Validation, Contour Padé method. Problema di ricostruzione ottimale e criteri di ottimalità delle interpolazioni RBF.
    • 15 maggio 2013.Dimostrazione dei 3 principi di ottimalità delle interpolazioni RBF. Rivisitazione del problema di optimal recovery come problema ai minimi quadrati. Minimi quadrati regolarizzati, minimi quadrati con centri e data-sites non coincidenti. Problema generale dell'approssimazione ai minimi qudrati: invertibilita' della matrice di Gram.
    • 16 maggio 2013. Alcune idee implementative dei minimi quadrati. Richiami del metodi dei minimi quadrati discreti 1d, dei minimi quadrati pesati e pesati interpolanti. Rivisitazione del problema dei minimi quadrati discreti in R^s.
    • 22 maggio 2013. Standard Moving Least-Squares (SMLS) e approccio di Backus-Gilbert (BC). Equivalenza tra BG e SMLS: proprietà. Metodo di Shepard. Esempi di funzioni generatrici nel metodo di BG ottenute risolvendo il sistema dei momenti per ottenere i moltiplicatori di Lagrange.
    • 29 maggio 2013. Stime di errore per approssimanti MLS. Metodi di Shepard di ordine superiore. Metodi di partizione dell'unità. Miglioramento del numero di condizionamento della matrice di collocazione mediante cambio di base, equivalente alla determinazione del reproducing kernel dello spazio nativo associato.
    • 5 giugno 2013.Problemi di stabilità e cambiamento di base. Basi di Newton e basi weigheted-SVD (lezione tenuta da Santin Gabriele)
    • 6 giugno 2013.Interpolazione generalizzata di Hermite. Soluzione di problemi differenziali ellitticci: metodi di Kansa (non simmetrico) e di Fasshauer (simmetrico). Metodo di Galerkin. Galerkin multilivello e multilivello annidato. Metodo pseudo-spettrale (PS) per problemi di trasporto e calcolo della matrice di derivazione.
    • 12 giugno 2013.Metodi PS: soluzione con gli approcci simmetrico di Kansa e non-simmetrico di Fasshauer. Approccio unificato per l'equivalenza tra collocazione e metodo PS.

    Esami
  • Esame Scritto (Necessaria iscrizione PROVA FINALE in UniWeb) - 21 Giugno 2013, h.10:00 - 2AB40. Testo dell'esame scritto
  • Esame Scritto (Necessaria iscrizione PROVA FINALE in UniWeb) - 17 Luglio 2013, h.15:00 - 2AB45 Testo dell'esame scritto
  • Esame Scritto (Necessaria iscrizione PROVA FINALE in UniWeb) - 2 Settembre 2013, h.10:00 - 2AB40
  • Esame Scritto (Necessaria iscrizione PROVA FINALE in UniWeb) - 19 Settembre 2013, h.15:00 - 2AB45
    Testo di riferimento
    Gregory E. Fasshauer: Meshfree Approximation Methods with MATLAB


    (Ultimo aggiornamento: 12 giugno 2013).