Le lezioni del corso di
Teoria dell'Approssimazione e Applicazioni, tenute dal prof. Stefano De Marchi saranno svolte
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Teoria: giovedì 9:30-11:30, Aula 2AB45, II piano
Teoria: venerdì 11:30-13:30, Aula 2AB45, II piano
Labor.: lunedì 9:30-11:30, Laboratorio TA, II piano
nei giorni di seguito indicati
Marzo 2012
9, 15, 16, 22(*), 23(*), 29, 30: lezioni di teoria (aula 2AB45)
12, 19: laboratorio (Lab TA, II piano)
(*) queste lezioni saranno tenute dal Prof. A. Iske dell'Università di Amburgo
Aprile 2012
5, 12, 13, 19, 20, 26, 27 aprile: lezione di teoria
2, 16, 23: laboratorio
Maggio 2012
3, 4, 10, 11, 17, 18 maggio: lezione di teoria
7, 14, 21: laboratorio
Argomento delle Lezioni
- 9 marzo 2012. Lezione introduttiva: presentazione del corso, delle modalità d'esame e svolgimento delle lezioni frontali e di
laboratorio. Breve e semplice introduzione alle funzioni radiali di base.
- 15 marzo 2012. Interpolazione polinomiale in dimensioni maggiori di 1. Teorema di Haar o Mairhuber-Curtis. Sequenze di Van der Corput e punti di Halton.
Matrice delle distanze. Problema dell'interpolazione di dati sparsi.
- 16 marzo 2012. Alcuni cenni implementativi: sequenze di Halton e matrice delle distanze. Funzioni radiali di base. Funzioni definite positive e teorema di
caratterizzazione di Bochner.
- 22 e 23 marzo 2012. Le lezioni del prof. Iske, si sono basate sul seguente articolo:
Scattered Data Approximation by Positive Definite Kernel Functions
- 29 marzo 2012. Funzioni strettamente definite positive e loro caratterizzazione integrale. Funzioni radiali (strett.) definite positive. Proprietà delle funzioni
(strett.) definite positive. Esempi: gaussiana, gaussiana di Laguerre, Poisson e Matern.
- 30 marzo 2012. Altri esempi di funzioni radili (strett.) definite positive. Funzioni (radiali) completamente monotone e funzioni (radiali)
monotone multiple: caratterizzazioni integrali. Problema di interpolazione di dati sparsi con precisione polinomiale: introduzione. Unisolvenza e punti
di Chung-Yao.
- 5 aprile 2012. Precision polinomiale e funzioni condizionatamente definite positive (CDP). Caratterizzazione delle funzioni CDP. Esempi: multiquadriche, thin
plate splines (TPS), potenze (con esponente dispari).
- 12 aprile 2012. Funzioni (strettamente) condizionatamente definite positive: caratterizzazione in termini
di funzioni completamente monotone e monotone multiple.
RBF a supporto compatto di Wendland: alcuni esempi.
- 13 aprile 2012. Reproducing Kernel Hilbert Spaces: definizione e caratterizzazioni. RKHS di funzioni RBF. Analisi dell'errore
in termini della funzione potenza.
- 19 aprile 2012. Stime d'errore basate sulla fill-distance. Stabilità vs accuratezza: il principio del trade-off (o d'incertezza). Stabilità mediante studio di
bounds dell'autovalore massimo e minimo della matrice d'interpolazione.
- 20 aprile 2012. Interpolazione RBF con parametro di forma che tende a 0. Metodi del trial and error, della minimizzazione
della funzione potenza, leave-one-out o cross-valuation e dell'approssimazione razionale di Padé. Ottimalità delle approssimazioni RBF di funzione
apparteneneti allo spazio nativo.
- 26 aprile 2012. Minimi quadrati e RBF: aspetti computazionali. Minimi quadrati regolarizzati. Minimi quadrati quando centri e nodi non coincidono.Inserimento e rimozione un nodo.
Minimi quadrati pesati.
- 27 aprile 2012. Minimi quadrati pesati (MLS) e minimi quadrati pesati interpolanti (IMLS) nel caso 1D. Approccio di Bachus-Gilbert e MLS.
- 3 maggio 2012. Equivalenza del metodo di Bachus-Gilbert e MLS. Metodo di Shepard. Metodi con ordine polinomiale superiore: costruzione delle funzioni generatrici.
- 4 maggio 2012. Analisi dell'errore di metodi MLS. Costruzione di metodi di Shepard di ordine superiore. Metodi di partizione dell'unità (MPU).
- 10 maggio 2012. Analisi d'errore per metodi di MPU. Approssimazione di nuvole di punti. Miglioramento del numero di condizionamento per interpolazioni
RBF con cambio di base nel caso CDP. Interpolazione di Hermite generalizzata.
- 11 maggio 2012. Soluzione di PDE ellittiche con RBF. Metodo non simmetrico di kansa e simmetrico di Fasshauer. Metodi Pseudo-spettrali e RBF.
- 17 maggio 2012. Analisi dei metodi pseudo spettrali con RBF. Stabilità delle interpolazioni basate su kernels.
- 18 maggio 2012. Ricerca di punti ottimali per interpolazioni RBF. Funzioni RBF con funzioni cardinali a supporto compatti e costante di
Lebesgue minimale (vedasi anche le slides ).
Esami
Esame del 4 giugno 2012
Esame del 4 luglio 2012
Esame del 25 luglio 2012
Testo di riferimento
Gregory E. Fasshauer: Meshfree Approximation Methods with MATLAB
(Ultimo aggiornamento: 2 settembre 2012).
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