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Questa pagina è dedicata al corso di Geometria 2 per il corso di Laurea in Matematica per l'anno accademico 2017/2018. Vi si troveranno file in formato pdf contenenti appunti ed esercizi relativi alle lezioni, e un tentativo di diario settimanale degli argomenti svolti. Vi compariranno anche testi e risultati degli esami (dopo che saranno stati svolti).
Il corso di Geometria 2 (14 crediti) si svolge nel primo semestre per 8 crediti (parte A) e nel secondo per 6 crediti (parte B); il docente sono io (Maurizio Cailotto, e qui siete nella mia home page).
Durante i semestri si terranno delle prove scritte parziali. Alla fine del primo semestre si terra` un parziale della parte A, e un esame di recupero della parte Bper gli studenti dell'anno precedente. Alla fine del secondo semestre si terranno i due appelli scritti ufficiali (su tutto il programma) e le prove orali (obbligatorie per tutti e che verranno svolte su appuntamento in giorni fissati, una volta superate le parti scritte). Ulteriori appelli (scritti e orali) si terranno nelle sessioni di recupero (agosto e settembre). Ad ogni appello scritto lo studente puo` decidere se affrontare solo la parte A, solo la parte B, o entrambe. L'orale e` unico su tutto il programma; alla fine dell'orale viene proposto un voto complessivo che tiene conto dei voti sulle parti scritte A e B, e dell'orale stesso.
 
 
Scopo del corso di Geometria 2 nel primo semestre è completare le conoscenze di Geometria 1, introducendo le nozioni fondamentali sugli oggetti geometrici di secondo grado (forme bilineari, quadratiche, coniche, quadriche) e qualche nozione fondamentale di Geometria Proiettiva. Gli strumenti introdotti e utilizzati rientrano nell'ambito dell'Algebra Lineare, e saranno usati in vari corsi (Analisi Matematica 2, corsi del terzo anno).
Argomenti:
- il primo argomento nuovo sara` lo studio delle forme bilineari e quadratiche, che generalizza e rende indipendente dalla base scelta la nozione di prodotto scalare; tutte le nozioni (ortogonalita`, decomposizioni e proiezioni ortogonali, basi ortogonali e ortonormali) saranno estese ad un ambiente piu` generale, in cui le funzioni non sono necessariamente definite positive [questi argomenti saranno poi usati in Analisi 2 per lo studio di massimi e minimi di funzioni di piu` variabili reali].
- il secondo argomento nuovo sara` la geometria proiettiva: qui la base fondamentale e` data dalla conoscenza di spazi vettoriali e spazi affini (i primi per costruire gli spazi proiettivi, i secondi per riconoscerne il significato geometrico) e delle trasformazioni lineari (la teoria di Jordan diventa indispensabile).
- il terzo argomento, geometria e classificazione di coniche e quadriche (gli oggetti piu` semplici dopo gli iperpiani: sono quelli definiti da equazioni di secondo grado) verra` svolto nelle geometrie proiettiva, affine, euclidea e sara` apprezzato solo avendo ottime basi per tutte, specie nel caso euclideo (si useranno matrici e riferimenti ortogonali per ottenere le equazioni canoniche e i vari invarianti: semiassi, fuochi,...).
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Esempi: ballata delle due rette (proiezioni in piani affini diversi delle stesse due rette nel piano proiettivo) e ballata di una conica (perche' le coniche irriducibili affini sono proiettivamente equivalenti):
           
Altro esempio: la quadrica rigata immagine della mappa di Segre:
   
 
 
Nel secondo semestre si studiera` la geometria differenziale delle curve e delle superficie, specie immerse nel piano e nello spazio; poi le nozioni elementari di topologia generale, in parte gia` incontrate nei corsi di analisi e geometria, finendo con la classificazione delle superficie reali compatte:
 
- si inizia lo studio della geometria differenziale delle curve (lunghezza, curvatura, torsione, riferimenti ed equazioni di Frenet...), e delle superficie immerse in R^3 (regolarita`, forme fondamentali, mappe di Gauss e Weingarten, curvature, teorema egregium, curve sulle superficie e geodetiche...).
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Qualche curva classica: rotolando una circonferenza
   
(il punto della circonferenza descrive un cicloide);
rotolando una parabola qui (il fuoco descrive una catenaria);
far rotolare una ellisse e` piu` complicato perche' il parametro d'arco non si esprime con funzioni elementari: qui.
Far rotolare una iperbole e` piu` deludente (perche'?).
Far rotolare una spirale logaritmica porta il centro a descrivere una retta (che interseca la tangente asintoticamente); che traiettoria descrivono i punti della spirale? Dopo aver provato a immaginarlo, si puo` vedere qui.
Far rotolare una circonferenza lungo un'altra circonferenza da` luogo a epicicloidi (rotolamento esterno) o ipocicloidi (rotolamento interno); sono curve algebriche se il rapporto dei raggi delle due circonferenze e` razionale, per esempio:
           
nelle figure per uno stesso rapporto sono disegnati sia l'epicicloide, sia l'ipocicloide:
1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,
2/1, 2/3, 2/5,
3/1, 3/2, 3/4, 3/5,
4/3, 4/5,
5/2, 5/3, 5/4, 5/6, 6/5.
Qualche esempio di cerchi osculatori e curva dei centri osculatori (di coniche):
           
Per non appesantire la pagina metto semplicemente i link ad altri esempi:
cicloide,
seno,
seno iperbolico,
coseno iperbolico,
spirale di Archimede,
eliche circolari.
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Tutti conoscono l'immersione del toro (quadrato con i lati opposti opportunamente identificati) nello spazio tridimensionale, con l'effetto pero` di deformare le lunghezze (i paralleli tutti uguali, i meridiani no); si puo` invece immergere in R^4 senza deformazioni (toro piatto): qui si vede cosa succede di un reticolo regolare di punti sul quadrato:
   
(varie proiezioni da R^4 sul foglio) e qui cosa succede di meridiani e paralleli (si vede bene che non e` il toro tridimensionale); la figura e` piuttosto pesante (circa 6Mb).
Il piano proiettivo reale si ottiene anch'esso identificando opportunamente i lati di un quadrato, oppure i punti antipodali di un disco, ma e` una superficie che non si puo` immergere nello spazio tridimensionale senza autointersezioni (ma in R^4 si`). Qui abbiamo dei filmati di immersioni ingenue in R^3 (un disco nel piano XZ viene fatto ruotare di a/2 attorno a X, e di a attorno a Z: questo da` una superficie di cui si vedono varie proiezioni qui) e in R^4 (seconda rotazione attorno al quarto asse: diverse viste qui e qui). Tutti i file sono abbastanza pesanti (circa 5Mb), ma da alcuni fotogrammi si intravvedono le proiezioni delle costruzioni classiche delle superficie di Boy e di quella romana di Steiner.
 
- si introducono le nozioni di base di topologia (aperti, chiusi, funzioni continue, assiomi di separazione, connessione, compattezza...), e infine si studia la classificazione topologica delle superficie reali compatte.
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Tutti conoscono la costruzione dell'insieme di Cantor:
   
Esempi di insiemi di Cantor 2-dimensionali:
               
Cubo di Menger e complementare:
   
 
 
Orari del corso
Parte A (primo semestre 2 ottobre 2017 - 19 gennaio 2018):
Mercoledì 11.30-13.15, Giovedì 8.30-10.15, Venerdì 8.30-10.15. Aula 1A/150 (Torre Archimede);
Parte B (secondo semestre 26 febbraio 2018 - 1 giugno 2018):
Lunedì 8.30-10.15, Martedì 8.30-10.15, Mercoledì 12.30-13.15 Aula 1A/150 (Torre Archimede);
potremo organizzare qualche incontro di tutorato/esercizi su richiesta.
 
 
Qui di seguito si potranno trovare gli appunti del corso; si tratta di note non definitive, soggette a variazioni (inoltre sono spesso sovrabbondanti rispetto a quanto sarà effettivamente svolto a lezione). Chi trovasse errori di stampa, inesattezze o altro è pregato di comunicarmeli; anche i commenti sono ben accetti.
(A) Per Geometria 2 parte A: si puo` seguire la seconda parte di AGLQ (Algebra e Geometria Lineari e Quadratiche) in cui vi sono quattro capitoli (Forme bilineari, quadratiche ed hermitiane, Geometria Proiettiva, Coniche e Quadriche, Geometria di Minkowski); purtroppo per mancanza di tempo mancano ancora i capitoli sulle geometrie non euclidee e sull'algebra multilineare... per chi preferisse altri riferimenti, e` circa equivalente usare gli appunti corrispondenti di M.Candilera.
(B) Per Geometria 2 parte B: gli argomenti del corso sono una parte degli appunti G&Te (i primi 4 capitoli, tranne alcuni punti, gli altri argomenti appartengono al corso di Topologia del terzo anno, ma ho preferito lasciarli perche' legati ai nostri argomenti);
> per la parte di geometria differenziale di curve e superficie si possono consultare i primi capitoli del libro di Do Carmo ("differential geometry of curves and surfaces"), o anche i primi capitoli del libro di Klingenberg ("A course in Differential Geometry").
> per la parte di topologia generale si puo` fare riferimento anche, per esempio, a: Checcucci-Tognoli-Vesentini (Lezioni di topologia generale), Tullio Valent (appunti ciclostilati di Istituzioni di Analisi Superiore a.a.75/76 rivisti, primi due paragrafi).
(P) Il programma dettagliato dell'orale (a.a. 2016/17): pdf.
(E) Si cerchera` di rendere disponibili i testi degli esami degli anni precedenti: ecco un file pdf (nota: ho aggiunto qualche suggerimento/risultato negli appunti per geometria differenziale e topologia, ma consiglierei di provare da soli a risolvere gli esercizi prima); altri si possono trovare (qualcuno risolto) nell'archivio appunti, tra gli esami 'storici'.
 
 
Qui un tentativo di programmazione settimanale degli argomenti (i numeri si riferiscono agli appunti AGLQ):
 
settimana 1 (4,5,6 ottobre): Forme bilineari e quadratiche, matrici di Gram e congruenza di matrici.
Esercizi per tutti: problemi 1-6 e esempio 3.11.5; teorico: paragrafo 1.2: 'relazioni con gli spazi duali' (e matrici, 2.1.7).
settimana 2 (11,12,13 ottobre): Ortogonalita` ed esistenza di basi ortogonali per forme simmetriche (costruzione tramite decomposizione ortogonale, completamente dei quadrati, metodo G-S); vettori e sottospazi isotropi; teoremi di classificazione per spazi normati (su C, rango, e su R, segnatura) e per spazi simplettici (esistenza di basi simplettiche).
Esercizi per tutti: ricerca di basi ortogonali e completamenti dei quadrati (dai compiti), scrivere le matrici di proiezioni e simmetrie ortogonali (3.2.2); teorico: forme riflessive sono simmetriche o alternanti (3.12).
settimana 3 (18,19,20 ottobre): Isometrie: caso normato (simmetrie ortogonali, teorema di Cartan-Dieudonne'), isometrie psudo-euclidee in dimensioni 2,3,4 (autovalori, autovettori, ecc.)
Esercizi per tutti: il primo esercizio dei compitini di novembre 2015 e 2016; scrivere come composizione di simmetrie ortogonali l'isometria (verificare) di matrice A=
1 1 1/2
0 1 1
0 0 1
(ha forma di Jordan con un solo blocco) per la forma (simmetrica) di matrice G=
0 0 -1
0 1 0
-1 0 0
teorico: problema 3.13 degli appunti; data una forma non degenere g su V, per ogni elemento f del duale di V esiste un unico vettore v di V tale che f(x)=g(x,v), ed esiste un unico vettore w di V tale che f(x)=g(w,x) per ogni x in V; che relazioni vi sono tra v e w? studiare la funzione di V in V che manda v in w (lineare, iso, identita`, matrice?).
Altri problemi teorici, se non avete altro da fare nel week-end: mostrare nei casi normato reale e simplettico che tutti i sottospazi isotropi massimali hanno la stessa dimensione (usando solo i teoremi di classificazione, e non le isometrie).
Capire quale enunciato viene veramente dimostrato dalla 'dimostrazione semplice' fatta a lezione del teorema di Cartan-Dieudonne': si tratta di un enunciato un po' piu` debole del teorema.
settimana 4 (25,26,27 ottobre): Isometrie: caso simplettico (trasvezioni). Esercizi sulle isometrie. Forme hermitiane complesse, applicazioni aggiunte, normali, autoaggiunte.
Problema: che blocchi di Jordan possono esserci in matrici di isometrie di spazi reali normati? discutere i casi di dimensioni 2,3,4,5 (e le varie segnature possibili).
settimana 5 (2,3 novembre): Teoremi spettrali reale e complesso, applicazioni.
Problema: esistono teoremi spettrali per forme definite negative, non definite, alternanti?
Altro problema: data una funzione f tra spazi V e W con forme h e g che 'rispetta le forme' (h(fv,fv')=g(v,v') per ogni v,v') allora: se g e` non degenere, f e` iniettiva, e se f e` suriettiva e h non degenere, f e` lineare.
Introduzione alla geometria proiettiva.
settimana 6 (8,9,10 novembre): Geometria proiettiva: definizione di spazi proiettivi e di spazi duali. Sottospazi e stelle. Principio di dualita` proiettiva ed esempi. Posizioni di sottospazi; trasversali comuni a tre rette sghembe in P^3, e generalizzazioni. Sistemi di riferimento proiettivi; dimostrazione del teorema di Pappo (esplicita, usando coordinate).
Problemi: paragrafi 1.8-1.10 degli appunti sulla dualita` (essere sicuri di saper dualizzare bene le affermazioni, e dimostrarle); punti a,b dell'esercizio 2 della prima prova parziale (parte A) del 2014; a tempo perso, qualcuno dei problemi da 7.1.12 a 7.1.29 degli appunti.
settimana 7 (15,16,17 novembre): Dimostrazione del teorema di Desargues (esplicita, usando coordinate). Modelli 'topologici' di spazi proiettivi reali, complessi e finiti. Birapporti di punti allineati, proprieta` di permutazione e armonia.
Problemi: risolvere gli esercizi di geometria proiettiva delle 'prime prove parziali' degli ultimi 2 anni.
Gli argomenti per il compitino del 24: fino a birapporti e armonia. Lunedi pomeriggio alle 14.30 aula LuF1 c'e un incontro di 'tutorato' (puo` darsi che arrivi un po' in ritardo, causa precedenti impegni).
settimana 8 (22,23,24 novembre): Relazione con spazi affini, conformi ed euclidei. Proiettivita` e costruzioni grafiche classiche.
 
 
Qui di seguito si troveranno date, risultati e testi degli esami di Geometria 2. Ricordiamo che durante gli esami scritti non puo` essere consultato alcun tipo di materiale tranne un foglio protocollo personale in cui possono essere riportate le formule ritenute utili della parte di geom.diff. Non è consentito l'uso di dispense, libri, enciclopedie, appunti personali, e naturalmente nemmeno l'uso di strumenti quali calcolatrici, computer, telefonini, compagni di corso, amici, ecc.
L'orale sara` obbligatorio per tutti gli studenti (domande su definizioni ed enunciati su tutto il programma del corso; saper esporre le dimostrazioni fondamentali che saranno indicate nel programma); vi si accede avendo una valutazione positiva sulle due parti del corso (ottenute con compitini e/o appelli) ed e` unico; terminato l'orale si propone un voto finale tenendo conto degli scritti nelle due parti e dell'orale stesso.
Date compitini:
24.11.17:
19.01.18:
27.04.18:
04.06.18:
Date appelli (scritti):
05.02.18:
18.06.18:
16.07.18:
27.08.18:
10.09.18:
NOTA: in linea di massima i risultati degli esami scritti vengono inseriti in questa pagina web, e non in UniWeb che useremo solo per la registrazione del voto finale; e` buona norma venire a ritirare i propri compiti, in modo da vedere gli errori commessi ed evitare di ripeterli in futuro...
NOTA: gli esami orali si potranno sostenere su appuntamento nei giorni segnati (con i risultati degli esami) per la visione degli scritti.

 
 
Considerazioni finali su corso ed esami (anno 2014/15): il programma di Geometria 2 e` piuttosto intensivo rispetto al numero di ore a disposizione per svilupparlo, specie nel secondo semestre, in cui al mattino c'e` spazio per pochi esempi/esercizi, e si usano le ore pomeridiane per studiare esempi importanti per avere una buona comprensione degli argomenti trattati (si tratta comunque di esempi, cioe` quel tipo di 'applicazioni delle definizioni' che ci si puo` aspettare che gli studenti del secondo anno sappiano fare con un po' di autonomia).
Mentre le parti piu` standard (geometria proiettiva, coniche e quadriche, curve e superficie diferenziali) sono piu` facilmente seguite, o si prestano meglio ad un apprendimento meccanico, la parte di topologia si dimostra sempre qualitativamente diversa. E` vero che c'e` poco tempo a disposizione (ma non che gli altri argomenti abbondassero di tempo...), e` vero che si tratta di nozioni in parte o in casi particolari gia` incontrate in analisi (ma questo non sembra aiutare molto...), ma si nota sempre nella parte di topologia degli esami uno iato tra chi fa bene e chi fa molto poco o commette molti errori. Come ho detto a lezione, la mia impressione e` che negli argomenti di topologia sia essenziale formarsi una 'nuova' intuizione usando le definizioni e controllando i risultati in molti esempi diversi, e qui non aiuta molto la passivita` di veder fatti gli esempi: o si prova a ragionarci da soli, oppure e` difficile sviluppare questo 'nuovo senso'.
Prima o poi scrivero` qualche soluzione degli esami, ma per il momento ho poco tempo; e sono anche convinto che lasciare che ciascuno debba trovarsi una soluzione sia una buona strategia...
 
Aggiornamento (anno 2015/16): sono stato convinto dagli eventi che scrivere alcuni 'risultati' degli esami di topologia generale sia utile, e li ho inseriti nell'aggiornamento del file G&Te.
 
Aggiunta: Sono stato ad una riunione/conferenza per i 'nuovi metodi didattici', in cui qualcuno spiegava cosi` le lezioni 'tradizionali': il docente copia dal libro alla lavagna, gli studenti copiano dalla lavagna al quaderno, e in tutto questo non si usa il cervello dello studente (e, io sospetto, nemmeno quello del docente). Sono d'accordo che se uno fa lezione all'universita` copiando da un libro, e` buona cosa che provi a cambire metodo di insegnamento. Forse mi e` capitato di avere qualche vecchio docente che recitava il proprio o qualche altrui libro, ma devo dire che per fortuna mi sembrano eccezioni nel campo della matematica; e in particolare io non ho mai inteso che una lezione sia la recita di un libro, e nemmeno dei miei appunti... La lezione dovrebbe servire per trasmettere le idee importanti e mettere l'accento sulle cose nuove da imparare e come sono collegate con le cose gia` note; questo e` difficile ottenerlo leggendo un libro...
 
Aggiornamento (anno 2016/17): Visto che alcuni rappresentanti degli studenti avevano dichiarato in una riunione della CP della Scuola di Scienze che tutti gli studenti di matematica preferivano l'uso del tablet rispetto all'uso della lavagna, ho chiesto agli studenti del corso di indicare la loro preferenza tra queste possibilita`: dalle risposte ho contato 10 preferenze per il tablet, 15 indifferenti e 30 preferenze per la lavagna. Devo ammettere che io ho una preferenza per la lavagna: scrivere su un tablet, a parte che rende piu` noiose le lezioni, ha lo svantaggio di avere "meno spazio" per vedere piu` cose contemporaneamente e cercare di spiegare/capire le idee di base e le relazioni tra queste. E` vero che si rischia di andare piu` veloci, ma penso che per il momento continuero` ad usare la lavagna. Soprattutto perche' mi sembra che le lezioni debbano servire per trasmettere le idee di base, e nel caso siano nuove le tecniche di dimostrazione, per permettere poi di leggere meglio un testo su quegli argomenti, anche non necessariamente scritto dal docente; trasformare queste in un ulteriore file pdf da leggere mi sembra eccessivo: le lezioni non servono per produrre un ulteriore libro, ma per mettere in grado di capire i libri su quell'argomento...
 

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