Sono disponibili gli appunti delle lezioni (in pdf).
Varietà differenziabili: carte locali, atlanti, strutture differenziabili. Funzioni differenziabili tra varietà, diffeomorfismi, diffeomorfismi locali, rivestimenti.
Spazio tangente: vettori tangenti e derivazioni. Il differenziale di una funzione tra varietà.
Sottovarietà: immersioni, sommersioni, embedding. Sottovarietà e sottovarietà immerse. Insiemi di livello.
Fibrati vettoriali: il fibrato tangente. Operazioni sui fibrati vettoriali: il fibrato cotangente, fibrati tensoriali. Sezioni di un fibrato vettoriale: campi vettoriali e campi tensoriali. Forme differenziali. Flusso di un campo vettoriale. La parentesi di Lie. Il teorema di Frobenius.
L'algebra esterna: forme differenziali. Il differenziale esterno. Forme chiuse e forme esatte. La coomologia di de Rham.
Connessioni: connessioni su fibrati vettoriali, la derivata covariante, il trasporto parallelo, la curvatura di una connessione.
Varietà (pseudo)Riemanniane: metriche su una varietà, isometrie. La connessione di Levi-Civita.
Integrazione di forme differenziali: orientazione di una varietà, varietà orientabili e varietà non orientabili. Integrale di una n-forma su una n-varietà orientata. Varietà con bordo. Orientazione di una varietà con bordo e orientazione indotta del bordo. Il teorema di Stokes.
Smooth manifolds: local charts, atlases, smooth structures. Smooth maps between smooth manifolds, diffeomorphisms, local diffeomorphisms, covering maps.
Tangent spaces: tangent vectors and derivations. the differential of a smooth map.
Submanifolds: immersions, submersions, embeddings. Embedded submanifolds and immersed submanifolds. Level sets.
Vector bundles: the tangent bundle. Operations on vector bundles: the cotangent bundle, tensor bundles. Sections of a vector bundle: vector fields and tensor fields. Differential forms. The flux of a vector field. The Lie bracket. Frobenius' theorem.
The exterior algebra: differential forms. The exterior differential. Closed forms and exact forms. De Rham cohomology.
Connections: connections on vector bundles, the covariant derivative, parallel transport, the curvature of a connection.
(Pseudo)Riemannian manifolds: metrics on manifolds, isometries. The Levi-Civita connection.
Integration of differential forms: orientations, orientable and non-orientable manifolds. Integral of a n-form on an oriented n-dimensional manifold. Manifolds with boundary. Orientations of a manifold with boundary and induced orientation of the boundary. Stokes's theorem.
L'esame consiste in una prova scritta seguita da una prova orale. Non sono previste delle prove intermedie (compitini). Durante la prova scritta è ammesso esclusivamente l'uso di carta e penna. Tutto ciò che non è esplicitamente permesso è da considerarsi vietato.
È obbligatoria l'iscrizione agli appelli d'esame tramite il sistema UNIWEB.
