Laurea Magistrale in Matematica

Analisi Stocastica

• Mercoledì 9:30-11:15 e 13:15-14:00
• Giovedì 9:30-11:15
• Venerdì 9:30-11:15

Dispense e programma per l'orale

• Dispense
• Programma

Fogli di esercizi (PDF)

• Foglio n. 1 ( soluzioni )
• Foglio n. 2 ( soluzioni )
• Foglio n. 3 ( soluzioni )
• Foglio n. 4 ( soluzioni )
• Foglio n. 5 ( soluzioni )
• Foglio n. 6 ( soluzioni )
• Foglio n. 7 ( soluzioni )
• Foglio n. 8 ( soluzioni )

Prove d'esame

• Appello del 22/03/2011
• Risultati appello del 22/03/2011
• Appello del 30/03/2011
• Risultati appello del 30/03/2011
• Appello del 04/07/2011
• Risultati appello del 04/07/2011
• Appello del 16/09/2011

Registro delle lezioni

• 16 Mar (3 ore). Esercizi sul moto Browniano e sull'integrale stocastico (foglio 8). Moto browniano e laplaciano. Unicità della soluzione per il problema di Dirichlet.
• 11 Mar (2 ore). Formula di integrazione per parti stocastica. - Teorema di Girsanov. - Equazioni differenziali stocastiche: definizione di soluzione e soluzione forte; definizione di unicità in legge e unicità per traiettorie. Teorema di esistenza ed unicità. - Lemma di Gromwall.
• 9 Mar (2 ore). Esercizi sull'integrale stocastico (foglio 7, es. 1, 2, 4), es. 3 (Processo di Ornstein-Uhlenbeck)
• 4 Mar (2 ore). Variazione quadratica di un processo di Ito. - Formula di Ito generalizzata. - Moto browniano geometrico. Supermartingala esponenziale. - Covariazione quadratica. Fromula di Ito Multidimensionale. M¹_loc[0,T] e M ¹_loc. - Processi di Ito.
• 3 Mar (2 ore). Formula di Ito per il moto browniano in dimensione 1 (con dimostrazione). - Processi M¹_loc[0,T] e M ¹_loc. - Processi di Ito.
• 2 Mar (3 ore). Esercizi sull'integrale stocastico (foglio 6, es. 2, es. 1ad). Proprietà dell'integrale stocastico in M²[0,T]: tempi d'arresto, località (enunciati). - L'integrale stocastico in M²_loc[0,T]. - Proprietà dell'integrale stocastico in M²_loc[0,T] (enunciati). Martingale locali. L'integrale stocastico in M²_loc[0,T] è una martingala locale.
• 25 Feb (2 ore). Prime proprietà dell'integrale stocastico. - L'integrale stocastico di processi in M²[0,T] è è una martingala di quadrato integrabile.
• 24 Feb (2 ore). Densità dei processi semplici in M²[0,T]. - Isometria dell'integrale stocastico di processi semplici. Integrale stocastico in M²[0,T].
• 23 Feb (3 ore). Esercizi su martingale e moto browniano (foglio 5, es. 1,3). - Estensione di isometrie densamente definite. Introduzione all'integrale stocastico. - Spazio di processi M²[0,T]. Processi semplici. (M²[0,T] è uno spazio di Hilbert.)
• 18 Feb (2 ore). Disuguaglianza massimale nel caso di tempo continuo. Variazione quadratica di una martingala continua, covarianza quadratica di martingale a tempi continui.
• 17 Feb (2 ore). Martingale a tempi discreti: processi arrestati; teorema di arresto; Disuguaglianza Massimale. Martingale a tempi continui: processi arrestati e teorema di arresto con applicazione al moto browniano.
• 16 Feb (3 ore). Esercizi sul moto browniano (foglio 4, es. 1,3). - Definizione di Speranza Condizionale. Principali proprietà della Speranza condizionale. Alcune applicazioni della speranza condizionale al moto browniano. Martingale, submartingale e supermartingale, proprietà elementari delle Martingale. Alcune Martingale speciali: B_t, |B_t|² -t ,...
• 11 Feb (2 ore). Definizione di tempo di arresto e principali proprietà. Nozione di tempo di ingresso. Approssimazione dall'alto di tempi di arresto continui con tempi di arresto discreti. Proprietà di Markov forte del moto browniano. Principio di riflessione.
• 10 Feb (2 ore). Moto browniano rispetto ad una filtrazione. Moto browniano rispetto alla filatrazione naturale. Proprietà di Markov semplice del moto browniano. Legge 0-1 di Blumenthal.
• 9 Feb (3 ore). Esercizi sul moto browniano (foglio 3, es. 1,2). - Nozione di modificazione e indistinguibilità di processi. Continuità e misurabilità di processi. Esercizi sul moto browniano (foglio 3, cenni sull'es. 3). - Filtrazioni e loro proprietà, ampliamento standard. Processi adattati e progressivamente misurabili.
• 4 Feb (2 hours). Reformulation of Brownian motion using its natural filtration (second part). Brownian motion in R^d and its properties. - The Wiener measure on C([0,∞),R^d). Donsker's invariance principle (no proof).
• 3 Feb (2 hours). Infinte variation of the trajectories of Brownian motion. Law of the iterated logarithm (no proof) and its corollaries. - σ-algebra associated to a process; independence of processes. Natural filtration of a process. Reformulation of Brownian motion using its natural filtration (first part).
• 2 Feb (3 hours). Esercises (n. 1 and 2, sheet 2). - Esercises (n. 3, sheet 2). Continuity of t B_1/t in t = 0. Law of large numbers for Brownian motion. - Quadratic variation of Brownian motion. Finite variation functions. Measurability of functionals of Browinan motion: the importance of the continuity of paths.
• 28 Jan (2 hours). Paul Lévy's construction of Brownian motion.
• 27 Jan (2 hours). Stochastic processes. Gaussian processes and their properties. Definition of Brownian motion. - Density of the finite-dimensional laws of Brownian motion (no proof). Brownian motion as a Gaussian process. Transformations of Brownian motion (proof left as an exercise).
• 26 Jan (3 hours). Exercises (n. 1abc and 3ab, sheet 1). - Exercises (n. 3c and 2, sheet 1). Existence of the normal law on R^d with given mean and covariance matrix. - Properties of normal laws on R^d. Stability of the normal laws under limits. Exercises (n. 4a, sheet 1). Proof that convergence in probability implies convergence in law.
• 21 Jan (2 hours). Weak convergence of laws. Convergence of random variables (in L^p, a.s., in probability, in law) and proof of their relations (except "convergence in probability implies convergence in law"). - Reminders: characteristic functions, Normal laws on R. Normal laws on R^d and their properties (no proofs).
• 20 Jan (3 hours). Reminders: covariance matrix, complete probability spaces, convergence theorems, inequalities. - Reminders: law of a random variable, change of variables formula, absolute continuitiy, absolutely continuous laws on R^d, independence, Fubini's theorem. - Reminders: Borel-Cantelli lemma. Exercises on Fubini's theorem and Borel-Cantelli Lemma.
• 19 Jan (2 hours). (Heuristic) introduction to the course. - Reminders: measurable spaces, σ-algebras, measurable functions, probability, random variables, expected value, L^p spaces, covariance.

Date degli esami

Primo appello
Prova scritta: martedì 22 marzo 2011, ore 9.30, aula 1AD/100.
Prova orale: lunedì 28 marzo 2011, ore 9.30, aula 2AB/45, e martedì 29 marzo 2011, ore 9.30, aula 2AB/45.

Secondo appello
Prova scritta: mercoledì 30 marzo 2011, ore 9.30 ore 14:30, aula 1AD/100.
Prova orale: mercoledì 6 aprile 2011, ore 9.30, aula 2AB/45, e giovedì 7 aprile 2011, ore 9.30, aula 2AB/45.

Terzo appello
Prova scritta: lunedì 4 Luglio 2011, ore 9.30 aula 2AB40
Prova orale: 6-7-11 Luglio 2011, ore 15.00, aula 1BC/45.