Laurea Triennale, primo anno, a.a. 2023-2024
Ing. Energia Canale B e Ing. Meccanica Canale 3,
Docente: Alvise Sommariva Corso in collaborazione con Giacomo Elefante Ultimo update: 23 febbraio 2024 (20:44)
Comunicazioni recenti
Per quanto riguarda il corso di Calcolo Numerico, Canale B (Ing. Energia, Ing. Meccanica Canale 3):
Le lezioni cominceranno il giorno lunedi' 26/02/2024, 8:30-10:30, P1 - COMPLESSO PAOLOTTI.
In generale l'orario delle lezioni seguira' il seguente schema:
Teoria: » lunedi' dalle 8.30 alle 10.30, P1, Complesso Paolotti.
» mercoledi' dalle 10.30 alle 12.30, P1, Complesso Paolotti.
Laboratorio: » giovedi', Aula Taliercio (presso Padiglione 14, Fiera), dalle 14.30 alle 16.30.
Per avere il calendario completo delle lezioni si veda la pagina web di Easystaff
Nota: le lezioni di Laboratorio cominceranno il giorno 7 marzo 2024, ed e' necessario avere l'account ed essere registrati (vedi relativa comunicazione). Alle prime lezioni di laboratorio possono partecipare solo gli studenti del primo anno.
Credenziali per gli studenti
Gli account degli studenti di Calcolo Numerico e Informatica sono stati creati sulla base dei dati provenienti dalle segreterie sugli studenti iscritti ai vari corsi di studio, epurati dei cessati e dei trasferiti.
Ritiro credenziali
Studenti del primo anno.
Il ritiro delle credenziali dell'aula da parte degli studenti avviene collegandosi con il SSO di Ateneo su https://studenti.adt.unipd.it [gli studenti visualizzeranno username, password e postazione assegnata]
La base dati dell'applicazione si aggiorna ogni notte, pertanto è necessario che gli account degli studenti siano stati generati almeno il giorno precedente a quello del ritiro.
Questa è la modalità ordinaria di consegna degli account per l'aula ed è ESCLUSA la possibilità di generare account in presenza o in maniera estemporanea.
A causa di continui attacchi informatici, alcune reti sono bloccate, percio', se gli studenti hanno difficolta' a collegarsi al sito di ritiro credenziali, si consiglia loro di collegarsi dalla rete wifi di Ateneo con EDUROAM, sempre funzionante.
Si richiede agli studenti di registrarsi, mediante il form di registrazione. Gli utenti non registrati non potranno seguire le lezioni di Laboratorio in Aula Taliercio (Padiglione 14, Fiera).
Studenti NON del primo anno.
Si richiede agli studenti di registrarsi, mediante il form di registrazione.
Importante: inserire il proprio indirizzo email del tipo nome_cognome@studenti.unipd.it.
Gli utenti non registrati non potranno seguire le lezioni di Laboratorio in Aula Taliercio (Padiglione 14, Fiera).
Il docente provvedera' a fornire indicazioni su come ottenere un nuovo account. Si consideri che i vecchi account sono stati disabilitati.
Il ritiro delle credenziali dell'aula da parte degli studenti avviene collegandosi con il SSO di Ateneo su https://studenti.adt.unipd.it [gli studenti visualizzeranno username, password e postazione assegnata]
La base dati dell'applicazione si aggiorna ogni notte, pertanto è necessario che gli account degli studenti siano stati generati almeno il giorno precedente a quello del ritiro.
Questa è la modalità ordinaria di consegna degli account per l'aula ed è ESCLUSA la possibilità di generare account in presenza o in maniera estemporanea.
A causa di continui attacchi informatici, alcune reti sono bloccate, percio', se gli studenti hanno difficolta' a collegarsi al sito di ritiro credenziali, si consiglia loro di collegarsi dalla rete wifi di Ateneo con EDUROAM, sempre funzionante.
Si informa che:
alle prime lezioni possono partecipare solo gli studenti del primo anno che hanno compilato il form sopra indicato (per problemi di capienza);
gli studenti che hanno effettuato cambi di canale sono invitati a comunicarlo al docente come indicato nel form;
dopo le prime lezioni, qualora ci siano disponibilita' di posti possono partecipare anche gli studenti degli anni successivi;
qualora non si possano seguire le lezioni, il docente suggerisce di scaricare il PDF legato alle stesse, come pure di seguire i video disponibili degli anni precedenti;
qualora si effettuino tutoraggi, il docente prontamente comunichera' agli studenti aula ed orario.
Calendario settimanale previsto
Lezione 1 di teoria
Argomenti:
» Introduzione al corso (1h).
» Rappresentazione dei numeri reali.
» Un esempio.
» Numeri macchina.
Argomenti:
» Alcune proprieta' numeri macchina (minimo, massimo). Accenno.
» Alcune proprieta' numeri macchina (cardinalita', spaziatura).
» Precisione singola e doppia.
» Troncamento e arrotondamento (esempi).
» Precisione di macchina.
» Errori relativi e assoluti (per numeri e vettori), con esempi.
» Errori relativi e assoluti per troncamento/arrotondamento (parte I).
» Errori relativi e assoluti per troncamento/arrotondamento (parte II).
» Unita' di arrotondamento.
» Operazioni con i numeri macchina.
» Proprieta' commutativa, associativa e distributiva delle operazioni floating point (con esempi).
» Errori nelle operazioni e loro propagazione.
» Il caso della somma, con dimostrazione.
» Esempio sulla cancellazione.
» Il caso del prodotto, con dimostrazione.
» Alcune problematiche numeriche.
» Valutazione di una funzione (condizionamento di una funzione).
» Matlab e Octave.
» Interfaccia grafica di Matlab.
» Command Window.
» Variabili.
» Valori che possono assumere le variabili (scalari, vettori, matrici, stringhe).
» Operazioni e funzioni elementari predefinite (con esempi).
» Alcune costanti.
» Help di Matlab.
» Assegnazioni.
» Il comando "whos".
» Vettori riga e colonna in Matlab.
» Comandi "length" e "size", "zeros", "ones".
» Vettori equispaziati come "a:h:b" o con "linspace".
» Alcuni esempi del condizionamento.
» Stabilita' di un algoritmo.
» Calcolo di una radice di secondo grado.
» Approssimazione di pi greco.
» Una successione ricorrente.
» Sulla somma ((1+x)-1)/x.
» Sulla valutazione di f(x)=x come tan(arctan(x)).
» Valutazione di polinomi: complessita' computazionale.
» Potenza di un numero (con esempio).
» Determinanti: confronto della regola di Laplace e metodo con fattorizzazione LU (cenno).
» Soluzione numerica di equazioni nonlineari esempi, grafici e metodi iterativi.
» Ordine di convergenza.
» Accesso alle componenti di un vettore.
» Operazioni elementari di tipo vettoriale.
» Funzioni elementari e loro applicazione a vettori.
» Note sulle operazioni moltiplicative.
» Somma tra scalari e vettori.
» Operazioni moltiplicative tra scalari e vettori.
» Definizione di funzioni matematiche.
» La grafica di Matlab e il comando plot.
» Ordine di convergenza, con esempio.
» Metodo di bisezione (algoritmo).
» Convergenza del metodo di bisezione (con dimostrazione).
» Test di arresto per il metodo di bisezione (con esempi).
» La scala semilogaritmica
» Altri comandi per grafici
» I comandi legend e title
» Le stringhe di testo
» I comandi format, disp, fprintf
» Le matrici: definizione.
» Operazioni elementari con Matrici.
» Metodo di Newton.
» Interpretazione grafica del metodo di Newton.
» Test di arresto per il metodo di Newton.
» Un teorema di convergenza locale per il metodo di Newton (asserto e dimostrazione).
» Un teorema di convergenza globale per il metodo di Newton (con dimostrazione).
» Newton e zeri multipli.
» Newton: alcuni esempi (casi semplici e multipli).
» Newton: radici quadrate ed n-sime.
» Metodo delle secanti.
» Metodo delle secanti: un teorema di convergenza.
» Metodo delle secanti: alcuni esempi.
» Metodi di punto fisso: introduzione.
» Le matrici: gestione di matrici particolari con [A; B] e [A B].
» Definizione di una funzione
» Definizione di una funzione: le directories
» Definizione di una funzione: variabili locali
» Definizione di una funzione: piu variabili in input e output
» Operatori di relazione e condizionali (con esempi)
» Le istruzioni condizionali: if then else (con esempi)
» Le istruzioni condizionali: switch (con esempi)
» Ciclo For (con esempi)
» Interpretazione geometrica del problema e delle iterazioni di punto fisso.
» Esempio.
» Teorema di punto fisso di Banach (asserto).
» Un teorema di punto fisso di convergenza locale (senza dimostrazione).
» Un teorema di punto fisso di convergenza locale (ordine p, senza dimostrazione).
» Metodo di Newton come metodo di punto fisso.
» Metodo di Newton e teorema di punto fisso di convergenza locale (traccia della dimostrazione).
» Calcolo di radice di 5 mediante 4 successioni di punto fisso.
Quiz Matlab
Per gli studenti che vogliono cominciare a provare le loro competenze in Matlab, si suggerisce di svolgere i seguenti quiz.
» Quiz 1: testo (facoltativo)
» Quiz 1: soluzione
» Interpolazione: introduzione.
» Unicita' del polinomio interpolatore (con dimostrazione via algebra lineare).
» Polinomi di Lagrange.
» Polinomio interpolatore mediante polinomi di Lagrange.
» Esistenza del polinomio interpolatore.
» Esistenza e unicita' del polinomio interpolatore (con dimostrazione via algebra lineare)
» Errore di interpolazione (senza dimostrazione)
Il 13 aprile 2023 non avra' luogo la lezione di Laboratorio (aula occupata per prova di Ammissione TOLC-MED TOLC-VET CISIA)
Lezione 13 di teoria
» Esempio di stima dell'errore di interpolazione.
» Convergenza dell'interpolazione polinomiale: nodi equispaziati e di tipo Chebyshev;
» Convergenza uniforme: una stima uniforme dell'errore tra funzione e polinomio interpolatore;
» Teorema di Faber e di Bernstein;
» Controesempio di Runge: comportamento dell'interpolante in nodi equispaziati e di Chebyshev;
» Costante di Lebesgue per nodi equispaziati e di Chebyshev.
» Un problema dell'interpolazione polinomiale.
» Funzioni polinomiali a tratti. Funzioni polinomiali a tratti, interpolanti e di grado "s".
» Esistenza e unicita' delle funzioni polinomiali a tratti, interpolanti e di grado "s" su dati che sono multiplo di "s".
» Errore dell'interpolante polinomiale a tratti di grado 1 (asserto).
» Metodo di bisezione in Matlab (con demo).
» Metodo di Newton in Matlab (con cicli while).
» Metodo di Newton in Matlab (con cicli for, esercizio).
Video (A.A. 2019-2020):
» Argomento 3. (il metodo di bisezione ↦ il metodo di punto fisso) [44:11] (l'autrice del video e' la Dott.ssa Giulia Sarego)
✔↓ (102 Mb)
Per gli studenti che vogliono cominciare a provare le loro competenze in Matlab, si suggerisce di svolgere i seguenti esercizi.
» Esercizi Matlab: [PDF, esercizi (testo)] » Esercizi Matlab Correzione: [PDF, esercizi (testo e correzione)] » Streaming delle correzioni degli esercizi.
Quiz Matlab
Per gli studenti che vogliono cominciare a provare le loro competenze in Matlab, si suggerisce di svolgere i seguenti quiz.
» Quiz 1: testo (facoltativo)
» Quiz 1: soluzione
» Convergenza uniforme delle funzioni polinomiali a tratti, interpolanti e di grado "1".
» Splines.
» Differenza tra splines e interpolanti polinomiali a tratti.
Lezione 16 » Splines cubiche interpolanti.
» Analisi dell'unicita' delle splines cubiche.
» Splines naturali, vincolate e periodiche.
» Splines not-a-knot.
» Convergenza delle splines cubiche.
» Osservazione sulla convergenza uniforme.
» Esperimento di Runge con splines.
» Problema ai minimi quadrati: definizione e motivazioni.
» Problema ai minimi quadrati: un esempio.
Lezione 7 di Laboratorio » Interpolazione in Matlab: polyfit e polyval.
» La funzione di Runge in Matlab (esempio, con demo).
» Esercizi.
Video (A.A. 2019-2020):
» Argomento 4. Parte 1. (l'interpolazione polinomiale in Matlab tramite le funzioni "polyfit" e "polyval" ↦ esercizi relativi all'interpolazione al variare del grado del polinomio) [41:14] (l'autrice del video e' la Dott.ssa Giulia Sarego)
↓
Lezione 17 » Curve fitting.
» Regressione lineare (con esempio).
» Alcuni esempi di approssimazione polinomiale di funzioni (con verifica convergenza uniforme).
» Minimi quadrati e ricostruzione di funzione da dati perturbati.
Lezione 18 » Integrazione numerica: stabilita' e convergenza uniforme (con dimostrazione).
» Formule interpolatorie.
» Grado di precisione.
» Grado di precisione delle formule interpolatorie.
» Regole del rettangolo: definizione ed errore.
» Regola midpoint: definizione ed errore.
» Formule di Newton-Cotes chiuse.
» Regola del trapezio ed errore.
» Regola di Cavalieri-Simpson ed errore.
Lezione 19 » Formule composte e interpolanti a tratti.
» Formula composta midpoint, errore, grado di precisione, esempio.
» Formula composta trapezi, errore, grado di precisione, esempio.
» Formula composta Cavalieri-Simpson, errore, grado di precisione, esempio.
» Formule composte: esempi.
le lezioni di tutoraggio non sono obbligatorie, ma comunque utili per chi sia alle prime armi con la programmazione;
verra' chiesto di risolvere un esercizio (prima ora di tutoraggio);
di seguito verra' esposta la soluzione dell'esercizio e gli studenti potranno fare domande specifiche;
la lezione si svolge online, via Zoom (meeting ID comunicato nel sito Moodle).
Lezione 20
» Norma di vettori (definizione)
» Norme "p" e infinito.
» Esempi.
» Norme indotte di matrici (definizione).
» Raggio spettrale.
» Norme indotte di matrici (esempi p=1, p=2, p=inf).
» Sistemi perturbati Ax=b e numero di condizionamento (solo asserto, con esempio).
» Risoluzione numerica di sistemi Ax=b con A matrice triangolare.
» Risoluzione numerica di sistemi Ax=b con A matrice triangolare: complessita' computazionale.
» Risoluzione di sistemi lineari con eliminazione gaussiana (esempio matriciale).
» Matrici cui a priori e' applicabile l'eliminazione gaussiana: a predominanza diagonale, simmetriche definite positive.
» Fattorizzazione LU.
» Complessita' computazionale A=LU (senza dimostrazione).
» Risoluzione di sistemi lineari con eliminazione gaussiana e loro legame con la fattorizzazione LU.
le lezioni di tutoraggio non sono obbligatorie, ma comunque utili per chi sia alle prime armi con la programmazione;
verra' chiesto di risolvere un esercizio (prima ora di tutoraggio);
di seguito verra' esposta la soluzione dell'esercizio e gli studenti potranno fare domande specifiche;
la lezione si svolge online, via Zoom (meeting ID comunicato nel sito Moodle).
Lezione 22
» Problematiche della fattorizzazione LU e della risoluzione dei sistemi lineari.
» Esempio di risoluzione di sistemi lineari con eliminazione gaussiana con pivoting.
» Risoluzione di sistemi lineari con eliminazione gaussiana con pivoting.
» Matrici di permutazione.
» Fattorizzazione PA=LU.
» Risoluzione del sistema Ax=b, nota PA=LU.
» Tempi di calcolo.
» Minimi quadrati polinomiali in Matlab.
» Il comando polyfit per il calcolo della soluzione ai minimi quadrati.
» Un esempio con la regressione.
» Un esempio con l'approssimazione ai minimi quadrati (grado variabile).
» Esercizio.
Video (A.A. 2019-2020):
» Argomento 6. Parte 1. (approssimazione ai minimi quadrati ↦ regressione lineare) [42:45] (l'autrice del video e' la Dott.ssa Giulia Sarego)
✔↓
» Metodi iterativi e metodi diretti: breve introduzione.
» Metodi iterativi stazionari: x^(k+1)=Bx^(k)+c.
» Metodi iterativi stazionari: legame tra metodo e soluzione di un problema di punto fisso.
» Metodi iterativi stazionari: un teorema di convergenza globale legato al raggio spettrale di B (senza dimostrazione).
» Metodo di Jacobi (esempio matrice 3 x 3).
» Metodo di Gauss-Seidel (esempio matrice 3 x 3).
» Metodi di Jacobi e Gauss-Seidel (caso generale).
» Splitting A=D-E-F.
» Splitting A=P-N.
» Splitting A=P-N: caso Jacobi.
» Splitting A=P-N: caso Gauss-Seidel.
» Convergenza di Jacobi/Gauss Seidel per matrici a pred. diag. stretta (senza dimostrazione).
» Convergenza di Gauss Seidel per matrici simmetriche definite positive (senza dimostrazione).
» Metodi iterativi e loro convergenza: esempi.
le lezioni di tutoraggio non sono obbligatorie, ma comunque utili per chi sia alle prime armi con la programmazione;
verra' chiesto di risolvere un esercizio (prima ora di tutoraggio);
di seguito verra' esposta la soluzione dell'esercizio e gli studenti potranno fare domande specifiche;
la lezione si svolge online, via Zoom (meeting ID comunicato nel sito Moodle).
Lezione 24 » Derivazione e un risultato negativo di convergenza uniforme.
» Rapporto incrementale.
» Analisi del rapporto incrementale (con dimostrazione).
» Instabilita' del rapporto incrementale (con dimostrazione).
» Esempi.
» Analisi del metodo del rapporto incrementale simmetrico (con dimostrazione).
» Instabilita' del metodo del rapporto incrementale simmetrico (con dimostrazione).
» Esempi.
» Regola dei trapezi e di Cavalieri-Simpson;
» Una demo di esempio sulla regola dei trapezi e di Cavalieri-Simpson;
» Formula dei trapezi composta;
» Formula dei trapezi composta: implementazione in Matlab;
» Formula dei Cavalieri-Simpson composta;
» Formula dei Cavalieri-Simpson composta: implementazione in Matlab;
» Una demo di esempio sulla formula composta dei trapezi e di Cavalieri-Simpson;
» Esercizio assegnato.
Video (A.A. 2019-2020):
» Argomento 6. Parte 1. (formula regola dei trapezi ↦ formule composte) [51:36] (l'autrice del video e' la Dott.ssa Giulia Sarego)
✔↓ (1.37GB)
» Fattorizzazione LU ed eliminazione gaussiana in Matlab.
» Il comando mldivide (backslash);
» Soluzione di sistemi lineari con backslash;
» Fattorizzazione LU;
» Fattorizzazione LU (esempi);
» Soluzione di sistemi lineari nota la fattorizzazione LU;
» Esercizi.
» Mercoledi' 14 giugno 2023, ore 10.30
» Preparazione ai compiti di teoria.
Lezione di Laboratorio 12
» Giovedi' 15 giugno 2023, ore 14.30
» Preparazione ai compiti di laboratorio.
Informazioni sul corso
E. Bano (tutor, 24h)
M. Barbieri (didattica di supporto, 24h)
G. Elefante (didattica frontale, 16h)
Prerequisiti: Conoscenze di base di analisi matematica.
Conoscenze e abilita' da acquisire: Apprendere le basi del calcolo numerico in vista delle applicazioni in campo scientifico e tecnologico, con particolare attenzione ai concetti di errore, discretizzazione, approssimazione, convergenza, stabilita', costo computazionale.
Le lezioni cominceranno il giorno lunedi' 26/02/2024, 8:30-10:30, P1 - COMPLESSO PAOLOTTI.
In generale l'orario delle lezioni seguira' il seguente schema:
Teoria: » lunedi' dalle 8.30 alle 10.30, P1, Complesso Paolotti.
» mercoledi' dalle 10.30 alle 12.30, P1, Complesso Paolotti.
Laboratorio: » giovedi', Aula Taliercio (presso Padiglione 14, Fiera), dalle 14.30 alle 16.30.
Per il corso si suggeriscono i testi
K.E. Atkinson: Elementary Numerical Analysis (in inglese).
G. Rodriguez: Algoritmi Numerici.
A. Martinez, Calcolo Numerico con Matlab. Temi d'esame di laboratorio. Testi e soluzioni. Edizioni Libreria Progetto, 2017.
S. De Marchi-M. Poggiali, Exercises of Numerical Calculus with solutions in Matlab/Octave, Edizioni La Dotta, 2018. (in inglese)
Per alcune tracce di calcolo numerico, si considerino
La pagina e' abilitata all'iscrizione spontanea come pure autoenrol, sia per gli studenti di Ingegneria dell'Energia (canale B), che di Ingegneria Meccanica.
In generale non si richiede l'uso di password (attenzione al pulsante di iscrizione scelto!).
» Rappresentazione dei numeri reali.
» Un esempio.
» Numeri macchina.
» Alcune proprieta' numeri macchina (minimo, massimo).
» Alcune proprieta' numeri macchina (cardinalita', spaziatura).
» Precisione singola e doppia;
» Troncamento e arrotondamento (con esempi e osservazioni);
» Precisione di macchina;
» Errori relativi e assoluti (per numeri e vettori), con esempi;
» Unita' di arrotondamento.
» Operazioni con i numeri macchina;
» Proprietà commutativa, associativa e distributiva delle operazioni floating point (con esempi);
» Errori nelle operazioni e loro propagazione;
» Il caso della somma, con dimostrazione;
» Esempio sulla cancellazione;
» Il caso del prodotto, con dimostrazione;
» Alcune problematiche numeriche;
» Valutazione di una funzione (condizionamento di una funzione);
» Alcuni esempi del condizionamento.
» Stabilita' di un algoritmo.
» Calcolo di una radice di secondo grado.
» Approssimazione di pi greco.
» Una successione ricorrente.
» Sulla somma ((1+x)-1)/x.
» Sulla valutazione di f(x)=x come tan(arctan(x)).
» Valutazione di polinomi: complessita' computazionale.
» Potenza di un numero.
» Determinanti: confronto della regola di Laplace e metodo con fattorizzazione LU.
Soluzione di equazioni non lineari:
» Soluzione numerica di equazioni nonlineari esempi, grafici e metodi iterativi.
» Ordine di convergenza, con esempio.
» Metodo di bisezione.
» Convergenza del metodo di bisezione.
» Test di arresto per il metodo di bisezione (con esempi).
» Metodo di Newton.
» Interpretazione grafica del metodo di Newton.
» Test di arresto per il metodo di Newton.
» Un teorema di convergenza locale per il metodo di Newton (traccia della dimostrazione).
» Un teorema di convergenza globale per il metodo di Newton (con dimostrazione).
» Newton e zeri multipli.
» Newton: alcuni esempi (casi semplici e multipli).
» Newton: radici quadrate ed n-sime.
» Metodo delle secanti.
» Metodo delle secanti: un teorema di convergenza.
» Metodo delle secanti: un esempio.
» Metodi di punto fisso: introduzione.
» Teorema di punto fisso di Banach (senza dimostrazione).
» Un teorema di punto fisso di convergenza locale (senza dimostrazione).
» Un teorema di punto fisso di convergenza locale (ordine p, senza dimostrazione).
» Metodo di Newton come metodo di punto fisso.
» Metodo di Newton e teorema di punto fisso di convergenza locale (traccia della dimostrazione).
Interpolazione polinomiale:
» Interpolazione: introduzione.
» Esistenza e unicita' del polinomio interpolatore (con dimostrazione)
» Errore di interpolazione (senza dimostrazione)
» Esempio di stima dell'errore di interpolazione.
» Convergenza dell'interpolazione polinomiale: nodi equispaziati e di tipo Chebyshev;
» Convergenza uniforme: una stima uniforme dell'errore tra funzione e polinomio interpolatore;
» Teorema di Faber e di Bernstein;
» Controesempio di Runge: comportamento dell'interpolante in nodi equispaziati e di Chebyshev;
» Stabilita' dell'interpolazione polinomiale: stime, costante di Lebesgue;
» Costante di Lebesgue per nodi equispaziati e di Chebyshev.
Funzioni polinomiali a tratti e splines:
» Un problema dell'interpolazione polinomiale.
» Funzioni polinomiali a tratti. Funzioni polinomiali a tratti, interpolanti e di grado "s".
» Esistenza e unicita' delle funzioni polinomiali a tratti, interpolanti e di grado "s" su dati che sono multiplo di "s".
» Errore dell'interpolante polinomiale a tratti di grado 1.
» Convergenza uniforme delle funzioni polinomiali a tratti, interpolanti e di grado "1".
» Splines.
» Differenza tra splines e interpolanti polinomiali a tratti.
» Splines cubiche interpolanti.
» Analisi dell'unicita' delle splines cubiche.
» Splines naturali, vincolate e periodiche.
» Splines not-a-knot.
» Convergenza delle splines cubiche.
» Osservazione sulla convergenza uniforme.
» Esperimento di Runge.
Minimi quadrati:
» Problema ai minimi quadrati: definizione e motivazioni.
» Teorema che lega il numero di campionamenti all'errore dei minimi quadrati.
» Alcuni esempi.
» Curve fitting.
» Regressione lineare (con esempio).
» Minimi quadrati e ricostruzione di funzione da dati perturbati.
Derivazione numerica:
» Derivazione e un risultato negativo di convergenza uniforme.
» Analisi del rapporto incrementale (con dimostrazione).
» Instabilita' del rapporto incrementale (con dimostrazione).
» Esempi.
» Analisi del metodo alle differenze simmetriche (con dimostrazione).
» Instabilita' del rapporto incrementale (con dimostrazione).
» Esempi.
Integrazione numerica:
» Integrazione numerica: stabilita' e convergenza uniforme (con dimostrazione).
» Formule interpolatorie.
» Grado di precisione.
» Grado di precisione delle formule interpolatorie.
» Regole del rettangolo: definizione ed errore.
» Regola midpoint: definizione ed errore.
» Formule di Newton-Cotes chiuse.
» Regola del trapezio ed errore.
» Regola di Cavalieri-Simpson ed errore.
» Formule composte e splines.
» Formula composta midpoint, errore, grado di precisione, esempio.
» Formula composta trapezi, errore, grado di precisione, esempio.
» Formula composta Cavalieri-Simpson, errore, grado di precisione, esempio.
» Formule composte: esempi e rapporti di convergenza. » Stabilita' formule di quadratura (con dimostrazione). » Convergenza di alcune formule di quadratura (legame con la convergenza uniforme). » Il caso delle formule di Newton-Cotes, di quelle basate sull'integrazione di interpolanti in nodi di Chebyshev e delle formule composte. » Esempi.
Estrapolazione:
» Il concetto di estrapolazione. »Estrapolazione di Richardson. » Le tabelle di estrapolazione. » Formula dei trapezi composte e metodo di Romberg.
Algebra Lineare Numerica:
» Norma di vettori (definizione)
» Norme "p" e infinito.
» Esempi.
» Norme indotte di matrici (definizione).
» Raggio spettrale.
» Norme indotte di matrici (esempi p=1, p=2, p=inf).
» Sistemi perturbati Ax=b e numero di condizionamento (solo asserto, con esempio).
» Risoluzione numerica di sistemi Ax=b con A matrice triangolare.
» Risoluzione numerica di sistemi Ax=b con A matrice triangolare: complessita' computazionale.
» Risoluzione di sistemi lineari con eliminazione gaussiana (esempio matriciale).
» Matrici cui a priori e' applicabile l'eliminazione gaussiana: a predominanza diagonale, simmetriche definite positive.
» Fattorizzazione LU.
» Complessita' computazionale A=LU (senza dimostrazione).
» Risoluzione di sistemi lineari con eliminazione gaussiana e loro legame con la fattorizzazione LU.
» Problematiche della fattorizzazione LU e della risoluzione dei sistemi lineari.
» Esempio di risoluzione di sistemi lineari con eliminazione gaussiana con pivoting.
» Risoluzione di sistemi lineari con eliminazione gaussiana con pivoting.
» Matrici di permutazione.
» Fattorizzazione PA=LU.
» Risoluzione del sistema Ax=b, nota PA=LU.
» Tempi di calcolo.
» Fattorizzazione Cholesky e sua complessita'.
» Risoluzione del sistema Ax=b, nota la Fattorizzazione Cholesky
» Determinante di una matrice: complessita' Laplace vs LU. » Inversa: cofattori vs LU. » Metodi iterativi e metodi diretti: breve introduzione.
» Metodi iterativi stazionari: x^(k+1)=Bx^(k)+c.
» Metodi iterativi stazionari: legame tra metodo e soluzione di un problema di punto fisso.
» Metodi iterativi stazionari: un teorema di convergenza globale legato al raggio spettrale di B (senza dimostrazione).
» Metodo di Jacobi (esempio matrice 3 x 3).
» Metodo di Gauss-Seidel (esempio matrice 3 x 3).
» Metodi di Jacobi e Gauss-Seidel (caso generale).
» Splitting A=D-E-F.
» Splitting A=P-N.
» Splitting A=P-N: caso Jacobi.
» Splitting A=P-N: caso Gauss-Seidel.
» Convergenza di Jacobi/Gauss Seidel per matrici a pred. diag. stretta (senza dimostrazione).
» Convergenza di Gauss Seidel per matrici simmetriche definite positive (senza dimostrazione).
» Metodi iterativi e loro convergenza: esempio.
» Test di arresto. » Sistemi sovradeterminati e soluzione ai minimi quadrati: definizione. » Legame tra soluzione ai minimi quadrati ed equazioni normali (senza dimostrazione). » Matrici rettangolari e fattorizzazione Cholesky. » Risoluzione equazioni normali con fattorizzazione Cholesky. » Risoluzione equazioni normali con fattorizzazione Cholesky: un esempio. » Matrici rettangolari e fattorizzazione QR. » Risoluzione equazioni normali con fattorizzazione QR. » Risoluzione equazioni normali con fattorizzazione QR: un esempio. » Matrici rettangolari e fattorizzazione SVD. » Risoluzione equazioni normali con fattorizzazione SVD. » Risoluzione equazioni normali con fattorizzazione SVD: un esempio.
Syllabus degli argomenti in cui le dimostrazioni sono irrinunciabili
(e` necessario saper sviluppare una discussione su tutti
gli argomenti del programma; qui si elencano i risultati
di cui bisogna conoscere una dimostrazione completa e rigorosa,
che ci si aspetta venga svolta in una prova scritta pertinente)
Precisione di macchina come massimo errore relativo di troncamento nel sistema floating-point;
analisi di stabilita' di moltiplicazione, addizione e sottrazione con numeri approssimati;
convergenza del metodo di bisezione
teorema di convergenza locale per il metodo di Newton (traccia della dimostrazione);
teorema di convergenza globale per il metodo di Newton (con dimostrazione).
esistenza e unicita' dell'interpolazione polinomiale;
convergenza uniforme dell'interpolazione lineare a tratti;
stime di condizionamento per un sistema lineare (effetto di errori sul vettore termine noto).
» Argomento 1. Parte 1 (Presentazione del corso di Calcolo Numerico) [43:14]
✔↓ » Argomento 1. Parte 2 (Rappresentazione dei numeri reali ↦ Alcune proprieta' numeri macchina (cardinalita', spaziatura)) [45:18]
✔↓ » Argomento 1. Parte 3 (Precisione singola e doppia ↦ Unita' di arrotondamento) [33:32]
✔↓ » Argomento 1. Parte 4 (Operazioni con i numeri macchina ↦ Errore nel prodotto, con dimostrazione) [17:23]
✔↓ » Argomento 1. Parte 5 (Alcune problematiche numeriche ↦ Alcuni esempi del condizionamento) [10:10]
✔↓ » Argomento 1. Parte 6 (Stabilita' di un algoritmo ↦ Una successione ricorrente) [27:32]
✔↓ » Argomento 1. Parte 7 (Sulla somma ((1+x)-1)/x ↦ Potenza di un numero) [21:20]
✔↓ » Argomento 1. Parte 8 (Valutazione dell'esponenziale ↦ Determinante di una matrice) [10:04] (corretto link: ore 10.48 del 16/03/20)
✔↓
Laboratorio:
Lezioni
» Installazione Matlab (Nota sull'installazione di Matlab presso l'Universita' di Padova) [4:28] (corretto link: ore 10.48 del 16/03/20)
✔↓ » Installazione Matlab (Nota ulteriore sull'installazione di Matlab presso l'Universita' di Padova) [1.39]
✔↓ » Argomento 1. Parte 1 (Introduzione a Matlab ↦ Comando whos) [41:29] (corretto link: ore 10.48 del 16/03/20)
✔↓ » Argomento 1. Parte 2 (Vettori in Matlab ↦ Accesso alla componente di un vettore) [24:21]
✔↓ » Argomento 1. Parte 3 (Vettori ↦ Operazioni vettoriali) [8.46]
✔↓ » Argomento 1. Parte 4 (Operazioni vettoriali) [19.05]
✔↓ » Argomento 1. Parte 5 (Operazioni vettoriali ↦ Grafica in Matlab) [20:43]
✔↓ » Argomento 1. Parte 6 (Scala semilogaritmica ↦ fprintf) [39:32]
✔↓ » Argomento 1. Parte 7 (Matrici: definizione ↦ gestione di matrici particolari con [A; B] e [A B].) [26:29]
✔↓ » Argomento 1. Parte 8 (Definizione di una funzione ↦ Definizione di una funzione: piu variabili in input e output) [12:20]
✔↓ » Argomento 1. Parte 9. (Operatori di relazione e condizionali (con esempi) ↦ Altri comandi) [64:21] (il file e' la sostituzione di un precendemente che si interrompeva prima della fine)
✔↓ » Argomento 2. Parte 1. (Radici di Secondo grado in Matlab: metodo stabile e instabile ↦ Calcolo di pi greco mediante successioni) [18:09]
↓ » Argomento 2. Parte 2. (Evitare un'amplificazione indesiderata degli errori ↦ complessità computazionale) [49:27] (l'autrice del video e' la Dott.ssa Giulia Sarego)
↓
» Argomento 3. Parte 1 (Interpolazione: introduzione ↦ Esempio di stima dell'errore di interpolazione) [47:28]
↓ » Argomento 3. Parte 2 (Convergenza dell'interpolazione polinomiale: nodi equispaziati e di tipo Chebyshev ↦ Costante di Lebesgue per nodi equispaziati e di Chebyshev) [44:12]
↓
Interpolazione polinomiale a tratti, interpolazione spline
» Argomento 4. Parte 1 (Un problema dell'interpolazione polinomiale ↦ Convergenza uniforme delle funzioni polinomiali a tratti, interpolanti e di grado "1") [44:12]
↓ » Argomento 4. Parte 2 (Splines ↦ Esperimento di Runge e splines cubiche) [49:13]
↓
Approssimazione polinomiale ai minimi quadrati
» Argomento 5. Parte 1 (Problema ai minimi quadrati: definizione e motivazioni ↦ Minimi quadrati e ricostruzione di funzione da dati perturbati) [47:50]
↓
Laboratorio:
Interpolazione polinomiale
» Argomento 4. Parte 1. (l'interpolazione polinomiale in Matlab tramite le funzioni "polyfit" e "polyval" ↦ esercizi relativi all'interpolazione al variare del grado del polinomio) [41:14] (l'autrice del video e' la Dott.ssa Giulia Sarego)
↓
Interpolazione polinomiale a tratti, interpolazione spline
» Argomento 5. Parte 1. (spline lineari ↦ esercizi relativi) [42:45] (l'autrice del video e' la Dott.ssa Giulia Sarego)
↓
Approssimazione polinomiale ai minimi quadrati
» Argomento 6. Parte 1. (approssimazione ai minimi quadrati ↦ regressione lineare) [42:45] (l'autrice del video e' la Dott.ssa Giulia Sarego)
↓
Argomenti.
Integrazione numerica
» Formule di quadratura algebriche e composte, convergenza e stabilita', esempi.
Derivazione numerica
» Instabilita' dell'operazione di derivazione, calcolo di derivate tramite formule alle differenze.
Estrapolazione numerica
» Il concetto di estrapolazione e sue applicazioni al calcolo di integrali e derivate.
» Argomento 7. Parte 1 (Integrazione numerica: stabilita' e convergenza uniforme (con dimostrazione) ↦ Regola di Cavalieri-Simpson, errore, grado di precisione) [49:55]
↓ » Argomento 7. Parte 2 (Formule composte e interpolanti a tratti ↦ Stabilita' formule di quadratura (con dimostrazione).) [59:18]
↓
Derivazione numerica
» Argomento 6. Parte 1 (Derivazione e un risultato negativo di convergenza uniforme ↦ Esempi) [58:16]
↓
» Argomento 9. Parte 1 (Norma di vettori ↦ Sistemi perturbato Ax=b e numero di condizionamento (caso generale, solo asserto)) [67:39]
↓ » Argomento 9. Parte 2 (Risoluzione di sistemi lineari (esempio matriciale) ↦ Fattorizzazione PA=LU) [65:38]
↓ » Argomento 9. Parte 3 (Matrici cui a priori non serve pivoting: a predominanza diagonale, simmetriche definite positive ↦ Inversa: cofattori vs LU) [43:53]
↓ » Argomento 9. Parte 4 (Metodi iterativi e metodi diretti: breve introduzione. ↦ Metodo di Gauss-Seidel (esempio matrice 3 x 3).) [46:17]
↓ » Argomento 9. Parte 5 (Convergenza di Jacobi per matrici a pred. diag. stretta (senza dimostrazione) ↦ Test di arresto.) [20:28]
↓ » Argomento 9. Parte 6 (Sistemi sovradeterminati e soluzione ai minimi quadrati: definizione ↦ Legame tra soluzione dell'approssimazione ai minimi quadrati ed equazioni normali (senza dimostrazione)) [19:04]
↓ » Argomento 9. Parte 7 (Matrici rettangolari e fattorizzazione Cholesky. ↦ Risoluzione equazioni normali con fattorizzazione SVD: un esempio.) [43:01]
↓
Laboratorio:
» Argomento 8. Parte 1. (Condizionamento ↦ Esempi) [43:15] (l'autrice del video e' la Dott.ssa Giulia Sarego)
↓ (1.19GB)
» Argomento 8. Parte 2. (Fattorizzazione LU ↦ Metodo di Gauss-Seidel) [54:51] (l'autrice del video e' la Dott.ssa Giulia Sarego)
↓ (1.41GB)
Sugli esami
SOMMARIVA ALVISE (Presidente)
DE MARCHI STEFANO (Supplente)
VIANELLO MARCO (Supplente)
L'esame e' da 9 crediti (totale: 72 ore di lezione di cui 24 di laboratorio).
Teoria
Prima dell'esame
le iscrizioni su uniweb si chiuderanno tre giorni prima della data della prova, per questioni organizzative;
ATTENZIONE, chi non e' iscritto NON potra' partecipare alla prova, controllate le date su uniweb;
la consegna del proprio elaborato avviene direttamente fornendo il foglio con lo stesso al docente;
accertarsi di avere un documento di identita' valido;
In cosa consiste l'esame
la prova scritta consistera' in due domande di teoria a risposta
aperta sintetica (mezza pagina di foglio A4 per domanda, non ci saranno
esercizi) e un breve quiz con 3 domande a risposta multipla;
IMPORTANTE: all'inizio del foglio DEVONO comparire Nome Cognome Matricola
le domande a risposta aperta saranno su aspetti SPECIFICI di TUTTO
il programma (ma NON interi argomenti come: "metodo di Newton"
o "interpolazione polinomiale")
Importante: Per esempi si vedano i testi degli esami precedenti.
Svolgimento della prova
(a) la prova si svolgera' in aula (per le coordinate della stessa (locazione e orario), vedere quanto fornito da Uniweb al momento della registrazione);
all'inizio della prova si verra' identificati tramite documento di identita' o con altra procedura indicata dall'ateneo;
Consegna dell'elaborato
La consegna avviene in modo diretto, fornendo il compito svolto su carta al docente.
Comportamento durante la prova
si raccomanda di scrivere con una buona grafia (cio' che non risulta leggibile non viene corretto);
il compito deve essere scritto in penna blu o nera, con possibili note in penna rossa; la matita può essere usata solo per i grafici e deve comunque essere visibile nel file inviato al docente;
NON si potranno consultare libri, dispense e appunti ne' cartacei ne' digitali, NON si potranno avere a portata di mano dispositivi digitali
di alcun tipo;
Voti
la prova sara' superabile senza problemi da chi ha studiato e utilizza adeguatamente la sua componente matematica;
IMPORTANTE: per superare la prova bisognera' pero' aver risposto con esito almeno sufficiente a ENTRAMBE le domande aperte:
verra' utilizzata la seguente tabella, in cui voto e' il voto avuto nelle domande, Q=1 significa che un solo quiz e' esatto, Q=2 significa che solo due quiz sono esatti, Q=3 significa che tre quiz sono esatti:
Voto
Q=1
Q=2
Q=3
17
INS
17
17
18
INS
17
19
19
17
18
19
20
17
18
20
21
18
19
21
22
19
22
23
23
20
23
24
24
20
24
25
25
20
24
26
26
21
25
26
27
22
26
27
28
23
26
28
29
24
27
29
30
24
27
30
La prova non risulta superata se tutte le risposte ai quiz sono errate, indipendemente dal voto preso nelle domande.
la prova risulta superata se il voto ottenuto e' almeno 18/30;
Alcune note
le iscrizioni su uniweb si chiuderanno il giorno alcuni giorni prima della data della
prova per questioni organizzative (vedasi data indicata all'inizio di questo regolamento);
ATTENZIONE, chi non e' iscritto NON potra' partecipare alla prova, controllate le date su uniweb;
RACCOMANDIAMO di iscriversi solo se preparati e intenzionati a svolgere
e consegnare la prova (non presentarsi per "tentare l'esame": chi si iscrive
e non si presenta o non consegna crea problemi a noi per l'organizzazione
e agli altri studenti perche' in presenza di grandi numeri potremmo essere
costretti a spostare alcuni gruppi ai giorni successivi);
attenzione:
non stiamo dicendo che e' vietato ritirarsi, ma che vi chiediamo di
presentarvi solo se preparati ragionevolmente, vista la numerosita'
del corso e i notevoli problemi organizzativi;
a chi in qualsiasi modo non rispetta le regole verra' annullata la
prova e dovra' ripeterla in un appello successivo;
IMPORTANTE: per chi venisse sorpreso a copiare o a farsi aiutare dall'esterno in
qualsiasi modo scatteranno anche le sanzioni previste in questi casi
dall'ateneo e dalla legge.
Laboratorio
Prima dell'esame
le iscrizioni su uniweb si chiuderanno tre giorni prima della data della prova per questioni organizzative;
ATTENZIONE, chi non e' iscritto NON potra' partecipare alla prova, controllate le date su uniweb;
si permette l'uso di un documento fornito dal docente in formato PDF, comprendente in unica pagina la lista dei principali comandi Matlab (tale documento verra' fornito dal docente);
la consegna del proprio elaborato consiste essenzialmente nel
consegnare il foglio di carta con le risposte ai quiz;
consegnare successivamente mediante procedura elettronica il proprio elaborato in Matlab;
accertarsi di avere un documento di identita' valido;
In cosa consiste l'esame
la prova scritta di Laboratorio consiste nell'implementare una o piu' funzioni Matlab al computer del Laboratorio Informatico e un breve quiz con 4 domande a risposta multipla;
per esempi, si suggerisce di guardare gli appelli precedenti.
Svolgimento della prova
la prova si svolgera' in aula Informatica;
in caso di grandi numeri alcuni gruppi potrebbero essere spostati ai giorni successivi;
i candidati dovranno scrivere nella seconda riga del foglio le risposte dei quiz; queste saranno del tipo A,B,C,D e una risposta tipo sara':
domanda 1: D, domanda 2: A, domanda 3: C, domanda 4: A
risposte non chiaramente leggibili verranno considerate errate.
di seguito verra' comunicata la function da implementare al computer;
RACCOMANDIAMO di iscriversi solo se preparati e intenzionati a svolgere
e consegnare la prova (non presentarsi per "tentare l'esame": chi si iscrive
e non si presenta o non consegna crea problemi a noi per l'organizzazione
e agli altri studenti perche' in presenza di grandi numeri potremmo essere
costretti a spostare alcuni gruppi ai giorni successivi); attenzione:
non stiamo dicendo che e' vietato ritirarsi, ma che vi chiediamo di
presentarvi solo se preparati ragionevolmente, vista la numerosita'
del corso e i notevoli problemi organizzativi;
Comportamento durante la prova
all'inizio della prova si verra' identificati tramite documento di identita' o con altra procedura indicata dall'ateneo;
(a) sul tavolo/superficie di lavoro dovranno essere presenti e sempre visibili il foglio su cui si svolge il compito ed il foglio con i comandi Matlab;
(b) nessun altro foglio dovra' essere presente sul tavolo/superficie di lavoro.
non si potra' parlare con nessun studente, non si potranno usare cuffie, cellulari, etc.
NON si potranno avere altri fogli oltre a quelli del compito e dei comandi Matlab.
NON si potranno consultare libri, dispense e appunti ne' cartacei ne' digitali,
NON si potranno avere a portata di mano dispositivi digitali di alcun tipo;
Consegna dell'elaborato
il quiz verra' consegnato per primo, fornendo al docente il foglio di carta adeguatamente compilato; di seguito, alla fine dell'esame, l'elaborato verra' consegnato mediante opportuna procedura informatica;
Sui voti
la prova sara' superabile senza problemi da chi ha studiato;
IMPORTANTE: per superare la prova bisognera' pero' aver risposto
con esito almeno sufficiente alla parte implementativa del codice Matlab e ai quiz:
verra' utilizzata la seguente tabella, in cui voto e' il voto avuto nella implementazione del codice Matlab, Q=2 significa che solo 2 risposte ai quiz sono esatte, Q=3 significa che solo 3 risposte ai quiz sono esatte, Q=4 significa che 4 risposte ai quiz sono esatte:
Voto
Q=2
Q=3
Q=4
SUFF
SUFF
SUFF
SUFF
DISCRETO
SUFF
DISCRETO
DISCRETO
DISTINTO
DISCRETO
BUONO
BUONO
OTTIMO
DISCRETO
BUONO
OTTIMO
Se lo studente ha sbagliato 3 risposte nei quiz e il voto della prova implementativa e' OTTIMO allora il voto finale e' SUFF.
Se lo studente ha sbagliato 3 risposte nei quiz e il voto della prova implementativa e' minore o uguale di BUONO allora il voto finale e' INSUFF..
Se lo studente ha sbagliato 4 risposte nei quiz, l'esame sara' ritenuto INSUFF., indipendentemente dal risultato nella parte implementativa.
Alcune note
a chi in qualsiasi modo non rispetta le regole verra' annullata la
prova e dovra' ripeterla in un appello successivo;
IMPORTANTE: per chi venisse sorpreso a copiare o a farsi aiutare dall'esterno in
qualsiasi modo scatteranno anche le sanzioni previste in questi casi
dall'ateneo e dalla legge.
Voto finale dell'esame (dopo aver svolto le prove di teoria e laboratorio, valido nell'anno in corso):
Per superare l'esame, gli studenti devono avere un voto sufficiente sia sulla prova di teoria che di laboratorio.
Il voto della prova di laboratorio (se sufficiente) produce inoltre una possibile aggiunta al voto dello scritto, se maggiore o uguale a 18, al piu' di due punti.
Piu' in dettaglio si osservera' la seguente tabella:
Voti in trentesimi della prova di teoria
Lab: SUFF
Lab: DISCRETO
Lab: BUONO
Lab: OTTIMO
da 18 a 26
+0
+1
+2
+3
27
26
27
28
29
28
27
28
29
30
29
28
29
30
30
30
28
29
30
30 e Lode
* Il 30 e lode viene dato agli studenti che abbiamo preso almeno 30 nella parte di teoria e OTTIMO nella parte di laboratorio.
I voti almeno sufficienti ottenuti nelle prove di teoria e laboratorio sono mantenuti dal docente fino alla prova invernale inclusa dell'anno accademico (ovvero fino all'appello di gennaio/febbraio incluso).
Dopo di questo, in caso di cambio di docente per l'anno successivo, i voti ottenuti potrebbero non essere mantenuti.
Importante.
Ogni studente puo' partecipare a ogni compito di teoria e di laboratorio, l'uno indipendemente dall'esito dell'altro e dall'esito dei compitini. Qualora richiesto dovra' iscriversi all'esame via Uniweb.
» Se uno studente ha precedentemente ottenuto un voto in una prova di teoria e consegna un compito successivo di teoria, il vecchio voto della prova di Teoria viene cancellato, indipendentemente che lo studente ottenga un voto positivo.
» Se uno studente ha precedentemente ottenuto un voto in una prova di laboratorio e consegna un compito successivo di laboratorio, il vecchio voto della prova di laboratorio viene cancellato, indipendentemente che lo studente ottenga un voto positivo.
Agli esami non e' possibile utilizzare alcun materiale didattico, come dispense, pdf, libri, etc, ne' cellulari, calcolatrici o altre apparecchiature elettroniche.
Si ricorda agli studenti che per effettuare la prova di esame non serve avere un account in Aula Taliercio (diversamente da quanto molti erroneamente credano).
La seguente lista degli esami e' indicativa, e potrebbe essere modificata dal docente.
La lista completa degli appelli puo' essere reperita mediante Easystaff.
La modalita' e' attualmente in presenza ma puo' variare in virtu' di disposizioni dell'ateneo. .
Date delle prove:
Teoria (I): venerdì 21/06/2024, 09:30-13:00, P300 - AULE DI VIA LUZZATTI
Si ricorda che per gli studenti iscritti regolarmente è disponibile la licenza MATLAB Campus, che prevede il download gratuito del programma MATLAB consentendo ad ogni studente di installare Matlab sul proprio computer personale.
