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Questa pagina è dedicata al corso di Geometria 1 per il corso di Laurea in Matematica per l'anno accademico 2023/2024. Vi si troveranno file in formato pdf contenenti appunti ed esercizi relativi alle lezioni, e un tentativo di diario settimanale degli argomenti svolti. Vi compariranno anche testi e risultati degli esami (dopo che saranno stati svolti). Questa pagina, assieme alla pagina Moodle del corso (qui) sono i riferimenti ufficiali del corso. Attenzione alle pagine moodle che hanno cambiato indirizzo rispetto agli anni precedenti ! Prima avevamo: https://elearning.unipd.it/math/ mentre ora abbiamo https://stem.elearning.unipd.it/ (e si cerca il dipartimento di matematica: https://stem.elearning.unipd.it/course/index.php?categoryid=36). Il corso di Geometria 1 (14 crediti) si divide in due moduli: nel primo semestre per 7 crediti (modulo A) e nel secondo per 7 crediti (modulo B); ma nel primo semestre il modulo A e` diviso in due canali paralleli (divisione per cognomi, visto che non tutti hanno gia` il numero di matricola), uno tenuto da me,Maurizio Cailotto, (cognomi A-L) e uno da Alessandra Bertapelle (cognomi M-Z). I due canali faranno esattamente lo stesso programma, gli stessi esami, e seguiranno le stesse regole. Le lezioni sono svolte per il primo semestre nelle aule P150 del complesso Paolotti (ultimo piano, canale A-L) e 1A/150 di Torre Archimede (primo piano, canale M-Z), a meno di imprevisti. Seguendo le linee guida unipd non vi saranno ne' streaming ne' registrazioni. Se a lezione si usa un tablet, i file pdf saranno messi a disposizione. Nel secondo semestre... Durante i semestri si terranno delle prove scritte parziali. Alla fine del primo semestre si terra` un parziale della parte A, e un esame di recupero della parte B per gli studenti dell'anno precedente. Alla fine del secondo semestre si terranno i due appelli scritti ufficiali (su tutto il programma) e le prove orali (obbligatorie per tutti e che verranno svolte su appuntamento in giorni fissati, una volta superate le parti scritte). Ulteriori appelli (scritti e orali) si terranno nelle sessioni di recupero (agosto e settembre). Ad ogni appello scritto lo studente puo` decidere se affrontare solo la parte A, solo la parte B, o entrambe. L'orale e` unico su tutto il programma; alla fine dell'orale viene proposto un voto complessivo che tiene conto dei voti sulle parti scritte A e B, e dell'orale stesso. Naturalmente, questa organizzazione, specialmente la modalita` degli esami scritti, puo` essere variata in corso d'anno in caso di ulteriori emergenze di ogni tipo. |
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Scopo del corso di Geometria 1 nel primo semestre è introdurre le competenze di algebra lineare che sono lo strumento moderno fondamentale moderno per lo studio della geometria. Argomenti: - il primo argomento sara` lo studio dei campi numerici, e in particolare dei numeri complessi, tramite i quali daremo qualche cenno di studio del piano euclideo. Vedremo come si possono dimostrare facilmente alcuni teoremi classici, per eempio sui triangoli: retta di Eulero, triangoli di Napoleone, cerchio dei nove punti, triangoli di Morley; qui una evoluzione della retta di Eulero 
e qui dei link a evoluzioni di triangoli di Napoleone, cerchio dei nove punti, triangoli principali di Morley. Cosa fanno le radici di un numero complesso? RC1, - il secondo argomento sara` lo studio della nozione di spazio vettoriale su un campo e delle trasformazioni lineari tra spazi vettoriali (basi, coordinate, matrici). - sistemi lineari e determinanti. - studio delle forme canonica delle matrici: diagonalizzabilita`, forma di Jordan (questo argomento terminera` il primo semestre). |
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Nel secondo semestre si applicheranno le tecniche di algebra lineare per definire e studiare varie geometrie: - Geometria affine - Geometria conforme Euclidea ed Hermitiana (qui ritorneremo ancora a risultati di algebra lineare quali il teorema spettrale e applicazioni) - Geometria Proiettiva Tra l'altro parleremo anche di trasformazioni affini, conformi, euclidee, proiettive; mettiamo qui qualche esempio di generazione di frattali tramite trasformazioni: 
Le tecniche di algebra lineare verranno usate poi al secondo anno per lo studio di coniche e quadriche (Geometria 2), per lo studio di funzioni di piu` variabili (Analisi 2), e anche in molti altri corsi tipo Algebra 2, Calcolo Numerico, Fisica Matematica, nonche' corsi sia teorici che applicativi al terzo anno. |
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Orari del corso Parte A (primo semestre 2 ottobre 2023 - 19 gennaio 2024): canale A-L: Lunedì 8.30-10.15, Martedì 8.30-10.15, Mercoledì 9.30-10.15. Aula P150 Complesso Paolotti; canale M-Z: Lunedì 10.30-12.15, Martedì 10.30-12.15, Mercoledì 10.30-11.15. Aula 1A/150 Torre Archimede; e` previsto un tutorato probabilmente il lunedi pomeriggio. Parte B (secondo semestre 26 febbraio 2024 - 12 giugno 2024): da decidere. |
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Qui di seguito si potranno trovare gli appunti del corso; si tratta di note non definitive, soggette a variazioni (inoltre sono spesso sovrabbondanti rispetto a quanto sarà effettivamente svolto a lezione). Chi trovasse errori di stampa, inesattezze o altro è pregato di comunicarmeli; anche i commenti sono ben accetti (nelle mail mettete come oggetto "geometria1: motivo-della-mail", in modo che io possa riconoscerle). Consiglierrei di usare il pdf, senza stampare su carta; la versione definitiva sara` quella con data "ottobre 2023". Si possono usare anche altri testi come riferimento o consultazione, tra cui il testo di Candilera-Bertapelle usato negli anni scorsi, il testo di Sernesi (che ora sara` usato per Geometria 2 nel prossimo anno), oppure i testi di Berger (in francese o inglese), oppure il libro di Kostrikin-Manin (in inglese), ... quasi qualunque libro di introduzione all'algebra lineare e alle sue applicazioni geometriche va bene, purche' il livello sia da corso di laurea in Matematica o in Fisica. A lezione non si seguira` nessun testo in particolare. (A) AGLQ (Algebra e Geometria Lineari e Quadratiche, prima parte) in cui vi sono nove capitoli (Strutture insiemistiche ed algebriche di base, Spazi Vettoriali, Applicazioni Lineari e Matrici, Sistemi Lineari, Determinanti, Forme canoniche, Geometria Affine, Spazi Vettoriali Euclidei ed Hermitiani, Geometria Euclidea ed Hermitiana, Geometria Proiettiva); (P) Il programma dettagliato dell'orale: a.a. 2022/23 (e` uguale all'anno scorso!). (E) Si cerchera` di rendere disponibili i testi degli esami degli anni precedenti: pdf (esami 2008-2019), gigantesco e assolutamente da non stampare!; pdf (esami 2020/21/22/23); pdf (esami 2020/21/22/23 con alcuni suggerimenti) questo file e` molto grande perche' i suggerimenti sono scritti a mano in pdf-vettoriale; ci sono anche esami precedenti nell'archivio appunti. |
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Qui di seguito si troveranno date, risultati e testi degli esami di Geometria 1. Ricordiamo che durante gli esami scritti non puo` essere consultato alcun tipo di materiale. Non è consentito l'uso di dispense, libri, enciclopedie, appunti personali, e naturalmente nemmeno l'uso di strumenti quali calcolatrici, computer, telefonini, compagni di corso, amici, parenti, "stabili relazioni affettive" ecc. Il semplice sospetto che queste norme siano violate puo` comportare l'annullamento della prova. La consegna di uno scritto su una parte del corso implica la rinuncia ad eventuali valutazioni precedenti conseguite in quella parte del corso; viceversa, ritirarsi da uno scritto non cambia la situazione di eventuali valutazioni precedenti su quella parte. L'orale sara` obbligatorio per tutti gli studenti (domande su definizioni ed enunciati su tutto il programma del corso; saper esporre le dimostrazioni fondamentali che saranno indicate nel programma); vi si accede avendo una valutazione positiva sulle due parti del corso (ottenute con compitini e/o appelli) ed e` unico; terminato l'orale si propone un voto finale tenendo conto degli scritti nelle due parti e dell'orale stesso. Se si decide di rifiutare questo voto, in linea di principio si devono rifare gli scritti, a meno che non sia indicato diversamente dal docente. Date compitini: (provvisorio) 20 novembre (lista iscrizioni su Moodle), testo e suggerimenti, risultati sulla pagina moodle... 22 gennaio testo e suggerimenti, risultati sulla pagina moodle... 22 aprile, testo e suggerimenti, risultati sulla pagina moodle... 17 giugno, risultati sulla pagina moodle... Date appelli (scritti): (provvisorio) 12 febbraio (parte A per tutti, parte B solo per recupero dell'anno precedente), testoA e suggerimenti; testoB e suggerimenti; risultati sulla pagina moodle... fine febbraio (solo recupero parte A, per tutti), 24 giugno, 15 luglio, 26 agosto, 9 settembre, NOTA: in linea di massima i risultati degli esami scritti *venivano* inseriti in questa pagina web, e non in UniWeb che useremo solo per la registrazione del voto finale; ora per questioni di privacy useremo delle liste su Moodle; in alternativa per vedere il proprio risultato e` necessario venire a ritirare il compito. NOTA: la lista delle giornate in cui si potra` sostenere l'esame orale e le liste di prenotazione saranno disponibili nella pagina moodle del corso. |
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Considerazioni generali: chi si iscrive a Matematica all'Universita` scopre quasi subito che quello che viene studiato gia` nei primi corsi e` molto diverso dalla matematica vista nelle scuole superiori (che pure si da` per nota), e questo vale in particolare per i corsi di Geometria. Passaggio dalla geometria sintetica alla geometria moderna: la geometria euclidea 'assiomatica', che oggi si dice sintetica, ormai e` di interesse solo storico-didattico per vari motivi, soprattutto incompletezza nelle dimostrazioni e impossibilita` di andare oltre le dimensioni piccole (piano e spazio); lo strumento moderno per capire la geometria in dimensione qualsiasi (per quest'anno, dimensioni finite, ma vedremo anche qualche caso di dimensione infinita) e` l'algebra lineare, che permette dimostrazioni sicure, ed e` strumento importante in molte se non tutte le applicazioni della matematica. Importanza di sviluppare sia le competenze tecniche, sia l'intuizione di quanto si sta studiando: nel primo anno di matematica (ma anche nei successivi) ci si trovera` nella situazione di dover studiare molte cose in poco tempo, imparare definizioni, enunciati, dimostrazioni che danno un bagaglio tecnico indispensabile; ma tutto questo serve per capire un qualche campo del sapere matematico, si presentano i migliori strumenti forgiati nel giro di secoli da menti geniali, ed e` importante non solo capire la correttezza di cio` che si fa, ma anche capire perche' si fa, per esempio "capire" perche' si da` una certa definizione. Cioe` bisogna anche sviluppare una certa intuizione degli argomenti che si studiano, pur nel contempo saper svolgere gli aspetti tecnici (calcoli). Considerazioni inizio 2023: ho trovato in qualche questionario sul primo semestre alcune critiche/considerazioni cui mi sembra necessario rispondere. La prima e` il fatto che nei compiti ci sarebbero "troppi conti", qualcuno dice anche che bisogna "immedesimarsi in un cinghiale travestito da ragioniere e smettere di pensare", "incoraggiando piu` ad automatizzare le risoluzioni degli esercizi". Ho l'impressione che l'osservazione sia da rovesciare: se si usa un approccio da cinghiali ci si trovera` con un sacco di conti, se invece si prova a pensare si troveranno metodi migliori, spesso con pochi conti, per arrivare a conclusioni complete. La difficolta` e` che non c'e` un "ragionamento universale" che risolva ogni problema, caso per caso bisosgna trovare una strada giusta. So che molti studenti semplicemente si costruiscono abbastanza "automatismi" per fare gli esercizi standard e raggiungere la sufficienza; e` un metodo, ma non e` il migliore. Ogni esercizio, anche standard, anche non teorico, puo` essere risolto in molti modi diversi, e vederne solo uno non e` nemmeno pratico, non sara` il migliore in tutti i casi. Altra critica riguarda il fatto che nel corso c'e` troppa teoria e pochi esercizi completamente svolti; qui sono d'accordo, ma ho dei colleghi che vorrebbero che si facessero ancora piu` argomenti al primo anno per poter fare di piu` successivamente ! La mia opinione e` che gli argomenti attualmente in programma al primo anno sono intensivi, ma sostenibili, modulo il punto successivo. Ulteriore critica: si danno troppe cose per scontate, non si e` mai in pari, si va troppo veloce. Qui il punto e` che ciascuno ha la propria velocita`, e chi fa lezione vorrebbe anche non annoiare troppe persone in classe, o non sembrare un bradipo. Quasi tutti hanno evidenziato che quasi tutti gli argomenti sono nuovi, ma come detto all'inizio del corso si devono usare fin da subito alcuni strumenti che vengono studiati in modo approfondito nei corsi paralleli. Capisco che questo sia un problema, ma mi sembra che faccia parte dell'addestramento iniziale per chi vuole proseguire in matematica. Non si tratta di velocita` nel fare i conti, si tratta di velocita` di pensare. Qualcuno lamenta la confusione e la "pessima organizzazione"; qui credo che l'impressione sia data soprattutto dal fatto che venire a lezione e pensare di portare a casa degli appunti lineari semplicemente da rileggere non funziona; le lezioni non servono per riscrivere qualche testo alla lavagna o al tablet, per quello ci sono libri e appunti; le lezioni servono (almeno per come le intendo io) per presentare le idee di fondo, capire perche' si mettono in un certo modo, capire quali sono i risultati fondamentali e i metodi fondamentali per ottenerli, mettendo l'accento sulle cose nuove e lasciando in secondo piano i dettagli, almeno in prima battuta, a meno che non siano indispensabili per la comprensione. Le lezioni dovrebbero permettere di riaffrontare quegli argomenti da soli (tra parentesi: nella ragioneria economicista oggi dominante dicono che un cfu corrisponda a 25 ore di cui 8 di lezione, le altre di studio individuale; quindi se servono 2 ore per digerire un'ora di lezione, sembra sia corretto!). Fare lezione con "definizioni/lemmi/teoremi/ecc." puo` sembrare piu` ordinato, ma questa organizzazione serve quando si scrive, lasciando al lettore di capire; io trovo piu` importante a lezione cercare di presentare (anche) l'idea di fondo, anche se questo sembra meno preciso. Peraltro, c'e` anche qualcuno che lo apprezza. Approfitto di questa occasione anche per un consiglio: facendo alcuni esami orali mi rendo sempre piu` conto che molto spesso gli studenti non imparano a parlare di matematica in modo preciso e consistente; molti credono (magari e` anche vero) di aver chiaro in testa cosa vogliono dire, ma di non riuscire a dirlo. Saper comunicare le proprie conoscenze e` una cosa fondamentale; il miglior consiglio sarebbe di studiare in gruppo discutendo con gli altri, ma in mancanza di compagni reali conviene inventarsene qualcuno immaginario e parlargli ad alta voce: si puo` sembrare strani, ma aiuta. Ultima cosa: qualcuno critica un atteggiamento troppo critico, addirittura insultante o arrogante, demotivante da parte mia; il punto e` che ricevere critiche non e` mai piacevole (farle nemmeno, uno preferirebbe che tutto funzionasse liscio, che tutti i compiti fossero ben fatti in modo da correggerli solo una volta, ecc.); pero` se si vuole migliorare e` utile che venga detto che cosa non va; esprimere e ricevere critiche e` una questione molto individuale, spesso capita di urtare le persone giusto perche' si comunica in modo diverso, una battuta per qualcuno puo` essere un'offesa per qualcunaltro. Il contesto di un corso universitario e` essenzialmente collaborativo, qualcuno vuole imparare, qualcuno vuole insegnare; non c'e` seria competizione nemmeno tra studenti o tra studenti e docenti, i voti hanno una importanza relativa, e passare gli esami non e` impossibile; d'altra parte un docente cerca sempre di capire quanto avanti riescono ad andare gli studenti, quindi proporre argomenti/esempi/esercizi difficili fa parte del gioco, si tratta di una sfida (a se stessi prima che agli altri), si puo` cogliere o meno, ma non e` il caso di offendersi. Quando per completezza si devono enunciare risultati per cui non si hanno ancora strumenti sufficienti per la dimostrazione (es. teorema fondamentale dell'algebra alla seconda settimana), semplicemente si dice qual e` la situazione. |
