MATEMATICA A

1. Contenuti del corso.
2. Testi consigliati.
3. Modalità d'esame.
4. Appelli d'esame (download).
5. Temi d'esame svolti (download).
6. Eserciziario (download).
7. Dispensa su equazioni differenziali a variabili separabili.
8. Date appelli d'esame
9. Esiti appelli d'esame.

1. Contenuti del corso.

Legenda:
(D): teorema dimostrato;
(SD): teorema non dimostrato.

Introduzione

Elementi di logica: connettivi logici, quantificatori. Elementi di teoria degli insiemi: unione, intersezione, differenza e prodotto cartesiano di insiemi; insieme della parti. Relazioni d'ordine. Il Principio di Induzione. I coefficienti binomiali e il binomio di Newton.

Insiemi numerici

Il campo dei numeri razionali: proprietà di densità (D) e di Archimede (D); rappresentazione decimale. I numeri reali: introduzione e assioma di completezza. Modulo di un numero reale, disuguaglianza triangolare (D). Intervalli. Insiemi limitati. Massimo e minimo di un sottoinsieme dei numeri reali. Estremo superiore ed estremo inferiore e loro caratterizzazione (SD). Archimedeità dei numeri reali (D) e densità di Q in R(D). Radicali e potenze, esponenziali e logaritmi.

Numeri complessi

Definizione, forma algebrica, coniugato di un numero complesso. Teorema fondamentale dell'algebra (SD). Piano di Gauss, modulo e argomento di un numero complesso, forma trigonometrica. Radici n-esime di un numero complesso (D). Forma esponenziale.

Le funzioni

Il concetto di funzione. Grafico di una funzione. Funzione identità. Composizione di funzioni. Funzioni iniettive e suriettive. Funzione inversa. Funzioni reali di variabile reale: funzioni monotone, funzioni periodiche, inverse delle funzioni circolari. Funzioni limitate: estremo superiore ed estremo inferiore di una funzione; massimo e minimo relativi ed assoluti.

Elementi di topologia

Intorni sferici di un punto, retta reale ampliata, intorni di +infinito e -infinito, proprietà di separazione (D). Punti di accumulazione, punti interni, esterni e di frontiera. Insiemi aperti e chiusi.

Limiti

Definizione di limite di funzione reale di variabile reale. Teorema di unicità del limite (D). Limiti destro e sinistro e teorema sull'esistenza del limite (D). Teorema della permanenza del segno (D). Teorema del confronto o dei due carabinieri (D). Limite di sen x/x (D). Limiti di modulo, somma, prodotto e quoziente di funzioni (D, escluso quoziente). Forme indeterminate. Teorema del limite della funzione composta (SD). Limiti di funzioni monotone (SD). Limiti fondamentali. Il numero di Nepero. Confronti asintotici: il simbolo di Landau "o piccolo" e sue proprietà; il Principio di Sostituzione degli Infinitesimi (D); il simbolo di Landau "o grande". Confronti fra infiniti e infinitesimi.

Successioni

Successioni convergenti, divergenti e irregolari. Il Teorema Ponte (SD) e suo uso. Limiti di successioni monotone (D). Progressione geometrica.

Funzioni continue

Definizione di continuità. Continuità di somma, prodotto e quoziente di funzioni continue (D). Continuità della composizione di funzioni continue (SD). Analisi dei punti di discontinuità : punti di salto, di infinito, di discontinuità eliminabile. Prolungamento per continuità. Teorema di Bolzano o degli zeri (D). Teorema dei valori intermedi (D). Teorema di Weierstrass (SD). Continuità delle funzione inversa (SD).

Calcolo differenziale

Definizione di funzione derivabile. Continuità delle funzioni derivabili (D). La funzione derivata e il teorema sul limite della derivata (SD). Derivate successive. Derivata destra e derivata sinistra e legame con la derivabilità (D). Punti di non derivabilità : punti angolosi, punti a tangente verticale, cuspidi. Derivata di somma, prodotto e quoziente di funzioni (D). Derivata della funzione inversa (SD). Derivata della composizione di funzioni (SD). Teorema di De L'Hôspital (SD). Punti stazionari. Teorema di Fermat (D). Teorema di Rolle (D). Teorema di Lagrange (D). Teorema di Cauchy (SD). Legame tra monotonia e segno della derivata prima (D). Funzioni concave e convesse. Legame tra convessità e derivata seconda (D). Punto di flesso e legame con la derivata seconda (SD). La formula di Taylor con i resti di Peano e Lagrange (dimostrazione per le formule di grado 2).

Calcolo integrale

Suddivisioni di intervalli. Somme inferiori e superiori e loro monotonia rispetto alle suddivisioni (SD). Definizione di funzione integrabile secondo Riemann e di integrale di Riemann. Integrabilità delle funzioni monotone (D) e delle funzioni continue (SD). Integrabilità della somma di funzioni integrabili (SD). Linearità e monotonia dell'integrale (SD). Integrabilità delle parti positiva, negativa e del modulo di una funzione integrabile (SD). Proprietà di additività rispetto all'intervallo di integrazione (SD). Teorema della media (D). Funzioni primitive. Primo e Secondo Teorema fondamentale del calcolo (D). Tecniche di integrazione: integrazione per parti e per sostituzione. Integrazione di funzioni razionali fratte. Integrali impropri: definizioni, criterio del confronto (SD), criterio asintotico del confronto (SD). La nozione di convergenza assoluta. Teorema sulle funzioni assolutamente integrabili in senso improprio (D).

Serie numeriche

Serie convergenti, divergenti, irregolari. Carattere di una serie geometrica (D). Serie telescopiche. Convergenza delle serie di Taylor dell'esponenziale (D), del seno e del coseno. Condizione necessaria per la convergenza di una serie (D). Carattere della serie armonica (D). Criterio di Cauchy per le serie (SD). Convergenza assoluta e relazione con la convergenza semplice (D). Serie a termini positivi: criterio integrale (SD), criterio del confronto (D), criterio del rapporto (D), criterio della radice (D). Criteri asintotici del confronto (SD), del rapporto (SD) e della radice (SD). Criterio di Leibniz (SD).

Equazioni differenziali

Metodi di risoluzione per equazioni differenziali del primo ordine lineari e a separazione di variabili, e per equazioni del secondo ordine lineari a coefficienti costanti.

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2. Testi consigliati.

M. Bertsch, R. Dal Passo, Elementi di Analisi Matematica, Aracne.

S. Antoniazzi, G. Pavarin, C. Zannol, Esercizi di Matematica A, Progetto.

P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica vol. 1, Liguori.

O. Stefani, A. Zanardo, Esercizi di Analisi, Progetto.

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3. Modalità d'esame.

L'esame prevede una prova scritta, superata la quale si accede ad una prova orale da svolgersi nella stessa sessione d'esame della prova scritta. È necessario iscriversi all'apposita lista sul sito del S.I.S. (Servizio Informativo Studenti). Per maggiori informazioni cliccare qui.

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4. Appelli d'esame (download).