Laurea Triennale in Matematica
Vi domanderete se esistano all'università anche persone non corrotte, persone che non adorano il potere e che odiano i compromessi, persone che pensano solo alla cultura e non ai maneggi che servono per fare carriera. Sì, ne esistono, pochissime, ma ne esistono. Ma forse sono le peggiori. Perché si tratta di poveri illusi che finiscono, a loro volta, per illudere invano altri illusi. Ossia poveri ragazzi, in genere molto preparati e studiosi, ragazzi che non si inseriranno mai all'università e che si troveranno poi, ormai vecchi, senz'arte né parte.
Maria Tasinato, Il grotto della vendetta.
Anno Accademico in corso.
Qui potrete trovare informazioni e complementi relativi al corso, ma la pagina ufficiale si è spostata sulla sezione Moodle del Dipartimento di Matematica. Tutti gli studenti sono quindi invitati a far riferimento a quella pagina.
Il libro ufficiale del corso è:
Candilera - Bertapelle,
Algebra Lineare e primi elementi di Geometria, McGraw-Hill
Una lista di errori trovati nel testo. Grazie in anticipo a chi volesse segnalarne altri (...nella speranza che non siano molti).
Altre informazioni "storiche" sul corso si possono trovare nel sito di Maurizio Cailotto.
Altri testi consigliati:
- Aleksei Kostrikin - Yuri Manin, Linear Algebra and Geometry, Gordon and Breach Science Publishers, 1989
- Kenneth Hoffmann - Ray Kunze, Linear Algebra (2nd edition), Prentice Hall, 1971
- Maurizio Cailotto, Algebra e Geometria Lineari e Quadratiche (prima parte)
PRIMA PARTE
Le slide del corso
Prima parte
- Introduzione e Numeri Complessi
- Spazi Vettoriali
- Applicazioni Lineari
- Sistemi Lineari
- Determinanti
- Spazio quoziente e spazio duale
- Autovalori e Autovettori
Seconda parte
Fogli volanti
I fogli di esercizi verranno inseriti nella pagina Moodle del corso. Qui lasciamo alcuni fogli di commmento e integrazione agli argomenti svolti nel corso. Per domande o chiarimenti sui contenuti del corso o di questi fogli, potete contattarmi via mail o venire nel mio studio (Torre Archimede, 6° piano) il giovedì, dalle 13.30 alle 14.30.
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Una prima lettura di approfondimento sulla geometria del piano complesso:
la dimostrazione nel piano di Gauss del cosiddetto
teorema di Morley.
Come approfondimento, suggerisco di leggere come le trasformazioni di Möbius conservino gli angoli. -
Per un inquadramento storico della nozione di spazio vettoriale, suggerisco
di leggere la paginetta
Abstract Linear Spaces nel sito dell'Università di St.Andrews (UK).
Una paginetta sul modo di disegnare l'ipercubo e la paginetta sui campi finiti e la loro rappresentazione tramite matrici. Infine, una paginetta per fissare le notazioni sulle matrici a blocchi. - Per chi voglia vedere qualche applicazione nel mondo reale dei sistemi lineari (chimica, economia, elettronica, flussi di traffico,...) suggerisco di leggere (e fare gli esercizi) le pagine proposte da William Chen dell'Università Macquarie di Sidney (Australia).
- Un approfondimento su applicazioni multilineari alternanti e prodotto esterno, un po' modificato rispetto agli anni scorsi. Un po' di slides con le chiacchere e i disegnini sul volume fatti a lezione.
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Un esempio di uso della dualità per un modello di applicazione,
con il consiglio di meditarci un po' sopra...
Inoltre, una paginetta su un insieme di generatori per il gruppo lineare speciale, le trasvezioni.
Infine, qualche breve approfondimento sul prodotto tensoriale di spazi vettoriali e le sue relazioni con le applicazioni multilineari. - Una paginetta sul metodo di indicizzazione di Google e le sue relazioni con il calcolo di autovalori e autovettori.
Esercitazioni -- Tutorato
Tutte le informazioni saranno date tramite Moodle.
Prove d'esame
Tutte le informazioni saranno date tramite Moodle.
Salvo diverso avviso, per partecipare alle prove esame è necessario iscriversi nelle apposite liste che compaiono su Uniweb in prossimità della data delle prove (...e cancellarsi dalle liste, se si cambia idea).
SECONDA PARTE
Approfondimenti
Possibili letture di approfondimento.
- Una dimostrazione del
Teorema di Hamilton-Cayley
(che differisce da quella presente nel libro). Una
una paginetta di Valentino Cristante sulla determinazione
matrice di Jordan di un endomorfismo.
Un approfondimento su una generalizzazione della decomposizione di Jordan, nota anche come decomposizione di Jordan-Chevalley.
Una breve dimostrazione del Teorema di Perron e Frobenius sugli autovalori di matrici reali ad entrate non negative. Alcuni necessari dettagli sulle norme di vettori e di endomorfismi di uno spazio vettoriale complesso in un foglio a parte (i contenuti presentati negli approfondimenti non sono necessari per la comprensione del corso, ma potranno essere utili in successivi studi o applicazioni). - Una paginetta sul piano con 9 punti e qualche chiacchera (terra terra) sulle coordinate baricentriche. Una breve chiaccherata sulla rappresentazione dei colori (rgb e cmyk) come sottoinsiemi dello spazio affine .
- Qualche lettura aggiuntiva, che porta verso dei possibili approfondimenti.
Un cenno a un celebre risultato di Eulero sui triangoli, che può ridursi oggi ad un esercizio sulla geometria dello spazio euclideo.
Qualche approfondimento sul volume e sull'algebra delle forme multilineari alternanti (vedersi il foglio nella prima parte...).
Esercitazioni -- Tutorato
Prove d'esame
Tutte le informazioni saranno date tramite Moodle.
Salvo diverso avviso, per partecipare alle prove esame è necessario iscriversi nelle apposite liste che compaiono su Uniweb in prossimità della data delle prove (...e cancellarsi dalle liste, se si cambia idea).
Per un inquadramento storico sulla Geometria Proiettiva ed il suo ruolo all'interno della Geometria, suggerisco di leggere i brevi cenni storici inseriti da Federigo Enriques nelle sue lezioni del 1898.
Un'altra lettura che vorrei consigliare per dare un'indicazione su alcuni metodi che si possono applicare allo studio di problemi geometrici sono alcune paginette sull'omologia ed il teorema di classificazione delle superficie reali. Il contenuto non richiede nessuna tecnica che vada al di là di quanto viene presentato nei primi corsi di Algebra e Geometria, ma può essere utile avere una certa dimestichezza con la capacità di astrazione. (Se si riscontrano errori, ringrazio in anticipo chi vorrà segnalarmeli)
Per chi è interessato, una bella versione bilingue (greco-inglese) degli Elementi di Euclide. I 13 libri sono stati tradotti da Richard Fitzpatrick (Department of Physics, University of Texas at Austin) e disponibili nel suo sito, dove è possibile ottenere anche una versione rilegata del testo.
...sauter à pieds joints sur les calculs, grouper les opérations, les classer suivant leurs difficultés et non leur forme, telle est suivant moi la mission des géomètres futurs.
Evariste Galois
Anno Accademico 2016/2017
I testi (in gran parte svolti) delle prove scritte sulla prima parte e sulla seconda parte:
- Primo compitino (21.04.2017)
- Secondo compitino (14.06.2017)
- primo appello (21.06.2017), Parte B
- secondo appello (07.07.2016), Parte B
- terzo appello (04.09.2017), Parte B
Anno Accademico 2015/2016
Il programma per l'anno 2015/16.
Prove d'esame
I testi (in gran parte svolti) delle prove scritte sulla prima parte e sulla seconda parte:
- Primo compitino (22.04.2016)
- Secondo compitino (14.06.2016)
- primo appello (17.06.2016), Parte B
- secondo appello (01.07.2016), Parte B
- terzo appello (05.09.2016), Parte B
- quarto appello (19.09.2016), Parte B
Nella sessione di febbraio 2017 sarà possibile sostenere un ultimo appello di recupero per l'anno accademico 2015/16.
Anno Accademico 2014/2015
Il programma per l'anno 2014/15.
Prove d'esame
I testi (in gran parte svolti) delle prove scritte sulla prima parte e sulla seconda parte
Anno Accademico 2013/2014
Il programma per l'anno 2013/14.
Prove d'esame
I testi (in gran parte svolti) delle prove scritte sulla prima parte e sulla seconda parte
Anno Accademico 2012/2013
Il programma per l'anno 2012/13.
Prove d'esame
I testi (in gran parte svolti) delle prove scritte sulla prima parte e sulla seconda parte
Moebius Transformations Revealed
(Douglas Arnold and Jonathan Rogness of the University of Minnesota)Anno Accademico 2011/2012
Il programma per l'anno 2011/12.
Fogli di esercizi (...e fogli volanti)
Ogni settimana sono stati distribuiti dei fogli di esercizi (che non trovate, per ora) ed in modo meno regolare delle paginette con commenti e divagazioni. Lasciamo i link a quest'ultime (...a meno che non vengano riutilizzate).- Un lungo esercizio di Ernesto Mistretta sulle relazioni tra spazi vettoriali reali e complessi.
- Due paginette sulle combinazioni convesse del Programma estivo 2004 del Park City Math Institute di Princeton.
- Un piccolo riassunto della classificazione delle isometrie.
- Un ultimo foglio sulla decomposizione polare di matrici reali e sulle radici quadrate di matrici simmetriche reali.
Prove d'esame
I testi (in gran parte svolti) delle prove d'esame sulla prima parte e sulla seconda parte
Anno Accademico 2010/2011
Il programma per l'anno 2010/11.
Altre informazioni "storiche" sul corso si possono trovare nel sito di
Maurizio Cailotto.
Fogli di esercizi
Ogni settimana sono stati distribuiti dei fogli di esercizi ed in modo meno regolare delle paginette con commenti e divagazioni. Gran parte sono state riciclate l'anno successivo. Lasciamo solo i link che non sono stati riutilizzati.- Una paginetta sulle potenze nel campo complesso
- Una breve nota sulla geometria dei Quaternioni dal sito di Giorgio Ottaviani (Università di Firenze).
- Alcuni commenti sulla dimostrazione di Gauss del Teorema Fondamentale dell'Algebra dal sito di Ehud Hrushovski. I più attenti alla filologia, possono leggere anche l'articolo originale di Gauss dal sito thelatinlibrary.com.
- Una dimostrazione del Teorema Fondamentale dell'Algebra, basata sull'Algebra Lineare, (pubblicata sul Monthly dell'AMS 110 del 2003 e leggibile alla fine del corso) si trova nel sito di Harm Derksen (University of Michigan) [...nella dimostrazione c'è un piccolo problema di segno]
Prove d'esame
I testi (in gran parte svolti) delle prove d'esame sulla prima parte e sulla seconda parte
Anno Accademico 2009/2010
Una paginetta sulla costruzione di poligoni regolari con riga e compasso.
Il programma del corso 2009/10.
(la prova orale verterà sui contenuti di tutte e due le due parti del corso)
Per il corso si è usata la dispensa
scritta da Maurizio Cailotto.
Prove d'esame della PRIMA PARTE e della SECONDA PARTE
Anno Accademico 2008/2009
La pagina web "ufficiale" del corso è nel sito di
Maurizio Cailotto.
Il programma del corso, è reperibile qui. (la prova orale verterà sui contenuti di tutte e due le due parti del corso)
Prove d'esame (prima parte)
Non potendo più dare per scontato che uno studente universitario sappia riconoscere le lettere dell'alfabeto greco quando le incontra, ecco una tabellina segnaletica delle lettere greche.
Laurea Triennale in Matematica
Far between sundown's finish and midnight's broken toll
We ducked inside the doorway, thunder crashing
As majestic bells of bolts struck shadows in the sounds
Seeming to be the chimes of freedom flashing
Flashing for the warriors whose strength is not to fight
Flashing for the refugees on the unarmed road of flight
And for each and every underdog soldier in the night
And we gazed upon the chimes of freedom flashing.
In the city's melted furnace, unexpectedly we watched
With faces hidden as the walls were tightening
As the echo of the wedding bells before the blowin' rain
Dissolved into the bells of the lightning
Tolling for the rebel, tolling for the rake
Tolling for the luckless, the abandoned and forsaked
Tolling for the outcast, burnin' constantly at stake
And we gazed upon the chimes of freedom flashing.
Through the mad mystic hammering of the wild ripping hail
The sky cracked its poems in naked wonder
That the clinging of the church bells blew far into the breeze
Leaving only bells of lightning and its thunder
Striking for the gentle, striking for the kind
Striking for the guardians and protectors of the mind
And the poet an the painter far behind his rightful time
And we gazed upon the chimes of freedom flashing.
In the wild cathedral evening the rain unraveled tales
For the disrobed faceless forms of no position
Tolling for the tongues with no place to bring their thoughts
All down in taken-for granted situations
Tolling for the deaf and blind, tolling for the mute
For the mistreated, mateless mother, the mistitled prostitute
For the misdemeanor outlaw, chased and cheated by pursuit
And we gazed upon the chimes of freedom flashing.
Even though a clouds white curtain in a far-off corner flashed
And the hypnotic splattered mist was slowly lifting
Electric light still struck like arrows, fired but for the ones
Condemned to drift or else be kept from drifting
Tolling for the searching ones, on their speechless, seeking trail
For the lonesome-hearted lovers with too personal a tale
And for each unharmfull, gentle soul misplaced inside a jail
And we gazed upon the chimes of freedom flashing.
Starry-eyed and laughing as I recall when we were caught
Trapped by no track of hours for they hanged suspended
As we listened one last time and we watched with one last look
Spellbound and swallowed 'til the tolling ended
Tolling for the aching whose wounds cannot be nursed
For the countless confused, accused, misused, strung-out ones and worse
And for every hung-up person in the whole wide universe
And we gazed upon the chimes of freedom flashing.
Robert Zimmermann
Anno Accademico 2004/2005
Il programma del corso.
Fogli di esercizi (di Maurizio Cailotto).
Una paginetta sulla costruzione di poligoni regolari con riga e compasso.
Anno Accademico 2005/2006
Il programma del corso.
Anno Accademico 2006/2007
Con l'attivazione del corso di Algebra 1 al primo trimestre, vengono trasferiti in quel corso alcuni dei contenuti iniziali. Ecco un indicazione del programma del corso.
Sono state distribuite alcune brevi note sulla Geometria dei numeri complessi (trasformazioni di Möbius, proiezione stereografica...) ad integrazione di quanto contenuto nella dispensa. Il contenuto fa ora (2010/11) parte del libro.